Dalla teoria degli insiemi ...

Dalla teoria degli insiemi ...

Classicamente la matematica viene fatta poggiare sulla teoria assiomatica degli insiemi.

A partire dagli anni 1950 ci si è resi conto che la teoria assiomatica degli insiemi ha delle mancanze in quanto ad espressività e capacità di affrontare i problemi matematici ed è perciò che alla teoria assiomatica degli insiemi è stata affiancata la teoria delle categorie.

Inizierò comunque con una esposizione ed analisi della teoria assiomatica degli insiemi

perché è un punto di riferimento fondamentale e perché porta con se alcune immagini che se scoperte possono risultare importanti.

I concetti basilari della teoria degli insiemi sono “insieme” ed “appartenenza”; di tali concetti,

basilari appunto, non viene data una definizione.

Un insieme è pensato come una generica collezione (o famiglia, o classe) di elementi (o membri) dell'insieme. In altre parole, per dirla un po' più rudemente ma con un'immagine che aiuta, un insieme altro non è che un sacco di patate dentro al quale è possibile metterci sostanzialmente qualunque cosa.

Per fare in modo che la teoria degli insiemi sia abbastanza potente da permettere le costruzioni teoriche di cui la matematica necessita e per fare in modo che la teoria degli insiemi non vada in contro a contraddizioni, la teoria stessa viene fatta poggiare su una serie di assiomi, ossia regole che regolamentano la costruzione degli insiemi stessi.

Riporto qua gli assiomi della teoria assiomatica degli insiemi perché ci permetteranno di fare dei nessi precisi e di avere delle immagini precise su ciò che la matematica è nella sua essenza e su come ciascuno di noi possa rapportarsi con essa.

A chi leggesse e non avesse il gusto per i tecnicismi matematici dico di non spaventarsi, o di saltare l'elenco, perché ciò che più ci interesserà saranno gli aspetti umani che tenteremo di cogliere dietro a questi assiomi.

Gli Assiomi della Teoria Assiomatica degli Insiemi sono i seguenti:

1. Assioma di identità (o estensionalità): Due insiemi sono uguali se e solo se hanno gli stessi elementi.
2. Assioma dell'insieme vuoto: Esiste un insieme privo di elementi. Useremo {} per indicare questo insieme vuoto.
3. Assioma della coppia: Se x, y sono insiemi, allora lo è anche {x,y}, cioè un insieme contenente x e y come unici elementi.
4. Assioma dell'unione: Ogni insieme ha un'unione. Cioè, per ogni insieme x esiste un insieme y i cui elementi sono esattamente gli elementi degli elementi di x.
   Detto in parole più semplici dato un insieme x i cui elementi sono insiemi, è possibile costruire un insieme che ha come elementi tutti e soli gli elementi che appartengono ad almeno un insieme di x.
5. Assioma dell'infinito: Esiste un insieme x tale che {} è in x e ogni volta che y è in x, lo è anche l'unione y U {y}.
6. Assioma di specificazione: Dato un insieme qualsiasi e una generica proposizione P(x) (ossia una proprietà che si può testare sugli elementi), esiste un sottoinsieme dell'insieme originale contenente esattamente gli elementi x per cui vale P(x).
7. Assioma di rimpiazzamento: Dato un qualsiasi insieme e un'applicazione generica, formalmente definita come una proposizione P(x,y) dove P(x,y) e P(x,z) implicano y = z, esiste un insieme contenente precisamente le immagini degli elementi originali dell'insieme.
8. Assioma dell'insieme potenza: Ogni insieme ha un insieme potenza. Cioè, per ogni insieme x esiste un insieme y, tale che gli elementi di y sono esattamente i sottoinsiemi di x.
9. Assioma di fondatezza: Ogni insieme non vuoto x contiene un certo elemento y tale che x e y sono insiemi disgiunti.
10. Assioma della scelta: Dato un insieme x di insiemi non vuoti mutuamente disgiunti, esiste un insieme y che contiene esattamente un elemento per ogni elemento di x. (In altre parole: esiste un insieme y che è costruito scegliendo un elemento da ciascuno degli insiemi che appartengono a x).

Vedremo nei prossimi post un po' più in dettaglio il senso di ciascun assioma e cosa ci racconta ciascun assioma sull'immagine della matematica che da tali assiomi viene fuori.