Hilbert

Hilbert.

Dalla scoperta del Paradosso di Russell e di altri paradossi simili derivanti da una teoria naif degli insiemi che non regolava la costruzione degli insiemi stessi, nasce la necessità di creare una teoria assiomatica degli insiemi che eviti tali paradossi e nasce soprattutto una ricerca sul come fondare la matematica su basi solide.

Nel 1920 il famoso matematico David Hilbert propone un progetto di ricerca in metamatematica che prenderà il nome di Programma di Hilbert. La ricerca che Hilbert proponeva delineava un tentativo di dare un fondamento solido alla matematica e può essere così riassunta:

• Completezza: dimostrare formalmente che la matematica tutta può essere fatta derivare da un insieme finito di assiomi opportunamente scelti
• Consistenza: dimostrare formalmente che tale insieme di assiomi è consistente (cioè non può portare a contraddizioni).
• Decidibilità: trovare un algoritmo per decidere la verità o falsità di qualunque enunciato matematico.

A questo proposito Hilbert sostenne anche che “la matematica non è un gioco i cui compiti sono determinati da un insieme di regole pattuite arbitrariamente. Piuttosto invece, la matematica è un sistema concettuale che mostra delle necessità interne che possono essere solo tali e che non possono avere altre risposta”.

Questa affermazione ci interessa perché nel paragrafo “La matematica si scopre o si crea?” ci stavamo chiedendo se la matematica, e le basi della matematica, si scelgono.

Per Hilbert la matematica è manipolazione formale di simboli e le regole che governano questo formalismo rispondono a necessità intrinseche della matematica stessa per cui non possono essere “arbitrariamente pattuite”.

La questione è molto difficile e delicata, tuttavia continuo a chiedermi quanto i pensieri non coscienti dei matematici, e la cultura stessa, abbiano un peso nelle scelte che poi i matematici fanno; quanto, in altre parole, la matematica possa portare con se tracce ed immagini dei pensieri non coscienti che l'hanno creata o addirittura dei processi psichici che rendono noi esseri umani in grado di fare matematica.

Questo è fondamentalmente il senso di questo lavoro. L'idea di base è che la teoria della nascita di Massimo Fagioli possa gettare luce sul come nasce la matematica nella mente umana. Ci arriveremo piano piano.

Nel prossimo paragrafo vedremo la risposta matematica di Gödel a Hilbert ed il suo profondo significato teorico e filosofico.