Gödel: Primo Teorema di Incompletezza.

Nel 1931 Kurt Gödel dimostrò formalmente che il progetto di Hilbert, nella forma in cui Hilbert lo aveva immaginato, era del tutto impraticabile.

Consideriamo un enunciato matematico, per esempio "2+2=4" oppure "i numeri primi sono infiniti" oppure "i numeri primi gemelli sono infiniti" (Nota 1: ricordiamo che due numeri primi si dicono gemelli se, oltre ad essere primi, sono numeri dispari consecutivi: per esempio 3 e 5 oppure 11 e 13 oppure 41 e 43).

Un enunciato matematico è vero se ... è vero, ossia se afferma qualcosa che nel mondo degli oggetti matematici vale. Per esempio: "2+2 = 4" è vero perché lo si vede contando, "i numeri primi sono infiniti" è un enunciato vero perché si riesce a dare una dimostrazione del fatto che vi sono infiniti numeri primi, "i numeri primi gemelli sono infiniti" è un enunciato che a tutt'oggi non si sa se è vero oppure falso, comunque è chiaro che deve essere vero o falso perché i numeri primi gemelli devono essere infiniti oppure finiti, non vi sono altre possibilità.

Abbiamo visto che la matematica parte da alcuni assiomi, ossia enunciati che si prendono per veri come punto di partenza, e, usando precise regole di inferenza, dimostra la verità di altri enunciati.

Una teoria matematica è definita dall'insieme di assiomi su cui poggia e dalle regole di inferenza che usa.

Ricordiamo che una teoria matematica si dice completa se in essa sono dimostrabili tutti gli enunciati che sono veri e che una teoria matematica si dice consistente se da essa non si possono dedurre contraddizioni.

Gödel, nel suo Primo Teorema di Incompletezza, dimostrò quanto segue (semplifichiamo qui l'enunciato del teorema per non entrare in difficili tecnicismi) per qualunque teoria matematica in grado di contenere al suo interno l'aritmetica di base:

• Una teoria matematica non può essere allo stesso tempo completa e consistente.
  In particolare in qualunque teoria matematica consistente esisteranno enunciati aritmetici veri che non saranno dimostrabili all'interno della teoria stessa.

Detto in altre parole: non vi è modo di scegliere gli assiomi della matematica in modo che poggiando su essi si possano dimostrare tutte le cose che sono vere in matematica. Verità e dimostrabilità di un enunciato non coincidono, in qualunque teoria esisteranno enunciati che sono veri di fatto ma che non possono essere dimostrati. 

Si potrebbe pensare che se una teoria non riesce a dimostrare tutti gli enunciati veri allora la si può arricchire aggiungendo degli assiomi per renderla più potente e sperare così di ottenere una teoria completa. Gödel ci dice che per quanto ci si sforzi di arricchire una teoria non arriveremo mai ad avere una teoria completa che possa dimostrare tutto ciò che è vero.

L'unico modo di avere una teoria che dimostra tutto è quello di avere una teoria inconsistente nel senso che dimostra anche le falsità ed in tal caso, ovviamente, abbiamo una teoria inutile.

Vale la pena di sottolineare di nuovo il fatto che il risultato di Gödel è esso stesso un teorema, cioè un enunciato dimostrato vero. Non si tratta cioè di un pensiero metamatematico o di una riflessione filosofica, ma di un fatto incontrovertibile formalmente dimostrato: "non esiste una teoria matematica in cui verità e dimostrabilità coincidono".

Il primo Teorema di Incompletezza di Gödel dà una secca risposta al primo punto del programma di Hilbert.

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Per oggi abbiamo detto anche troppo ...

Continuo nei prossimi post con Gödel, paradossi, Heisenberg, teorie del tutto, Hawking.