Gödel: Secondo Teorema di Incompletezza.

Gödel: Secondo Teorema di Incompletezza.

In questo paragrafo facciamo ancora alcune osservazioni sul Primo Teorema di Incompltezza di Gödel e tra queste enunciamo il Secondo Teorema di Incompletezza di Gödel.

Non possiamo qui accennare alla dimostrazione del Primo Teorema di Gödel perché è veramente troppo tecnica ed avanzata ma l'essenza della dimostrazione risiede nel fatto che Gödel grazie ad una costruzione molto sofisticata riesce a far parlare l'aritmetica di se stessa, riesce cioè a costruire degli enunciati aritmetici che possono essere interpretati come affermazioni sulla dimostrabilità di altri enunciati aritmetici.

In particolare Gödel mostra che in qualunque teoria matematica in grado di contenere al suo interno l'aritmetica si può costruire un enunciato aritmetico che se interpretato può essere così tradotto:

• Questo è un enunciato non dimostrabile.

Difronte ad un tale enunciato abbiamo due possibilità:

1. L'enunicato è falso: ed allora è un enunciato dimostrabile ma un enunciato falso non può essere dimostrabile, quindi si giunge a una contraddizione.
2. L'enunciato è vero: ed allora è vero che non è dimostrabile. Questa possibilità ha perfettamente senso: l'enunciato è vero ma non è dimostrabile.

Per cui verità e dimostrabilità non coincidono.

Possiamo interpretare la dimostrazione del Primo Teorema di Gödel come un raffinamento del paradosso del mentitore. Il paradosso del mentitore è dato dalla frase “Io sto mentendo”: se è vero che mento allora la frase è vera ma allora quello che dico deve essere una bugia per cui non deve essere vero che sto mentendo ... ecc.

Il paradosso del mentitore è un paradosso senza soluzione, è una frase mal costruita che porta a contraddizioni.

L'enunciato invece “Io sono un enunciato non dimostrabile” non porta a contraddizioni ed ha come soluzione il pensare che debba essere vero ma non dimostrabile.

Ribadiamo che la dimostrazione di Gödel è drasticamente più tecnica e raffinata e fa solo uso dell'aritmetica e non di metaragionamenti che esulano dalla matematica. Si tratta di una vera e propria dimostrazione data all'interno della stessa teoria matematica di cui sta ragionando.

Veniamo allora al Secondo Teorema di Incompletezza di Gödel.

Abbiamo visto che il Primo Teorema ci dice che vi sono enunciati non dimostrabili. Bene, il Secondo Teorema peggiora ancor più la situazione perché dà un esempio molto significativo di enunciato non dimostrabile. Gödel riesce a dimostrare (sempre in via strettamente formale) che:

• La consistenza degli assiomi di una teoria matematica non può essere dimostrata dalla teoria stessa.

In altre parole quando si usa una teoria matematica non si può mai sapere se la teoria stessa è non contraddittoria. Se un giorno avviene che si perviene a una contraddizione allora ovviamente abbiamo scoperto di avere a che fare con una teoria non consistente ma se, viceversa, non si sono ottenute contraddizioni per il momento, nulla può garantirci la consistenza della teoria: le contraddizioni potrebbero arrivare più avanti.

Questa è la verità della situazione: la matematica poggia tutta su un insieme di dieci assiomi ma non potremo mai dimostrare che questi assiomi non portano a contraddizioni. Possiamo solo sperare in bene. L'affermazione “Questi assiomi non sono contradditori” è un esempio di enunciato non dimostrabile all'interno della teoria matematica stessa. E, ripeto, l'enunciato “la non cotraddizione degli assiomi non è dimostrabile” è un teorema nella teoria stessa.

Chiedo in certo senso scusa a chi legge perché abbiamo dovuto affrontare delle pagine più tecniche e difficili. Ma i risultati di Gödel hanno una rilevanza importante quando si parla di fondare la matematica e non potevano essere saltati.

Torniamo allora ad interpretare il senso umano di ciò che la matematica ci offre.

Facciamoci coraggio e proviamo a dire che forse quello che abbiamo visto qui ci racconta qualcosa sulla razionalità. Abbiamo visto che la razionalità non può poggiare su stessa ed ha bisogno di basi (corrispondenti in matematica agli assiomi), adesso, trasportando i risultati di Gödel, possiamo forse spingerci a dire che anche dotando la razionalità di buone basi, essa non riesce a raggiungere la verità delle cose, non tutta. Forse perché non riesce a parlare di se stessa, perché non riesce a dire da dove nasce, o forse perché se parla di stessa dice bugie (come le teorie matematiche che tentano di dimostrare la propria consistenza).

Torneremo sull'origine della razionalità.