Bourbaki e le immagini

Torniamo a Bourbaki.

Riassumiamo.
Abbiamo volato e sterzato lasciandoci guidare dai nessi.
Siamo partiti con l'idea di cogliere le immagini di valore umano contenute o nascoste nella teoria assiomatica degli insiemi.
Ci siamo poi chiesti chi aveva introdotto l'insiemistica nelle scuole. Abbiamo detto che era stato fondamentalmente Bourbaki e ci siamo chiesti perché c'era stata questa volontà di introdurre l'insiemistica nelle scuole. Non abbiamo ancora del tutto risposto ma una prima risposta l'abbiamo trovata nella spinta alla sistematizzazione della matematica in voga ad inizio del 1900.
Abbiamo per questo parlato di Russell e Hilbert e poi di Gödel e dei suoi teoremi.
Gödel ci ha poi portato ad interessarci del principio di indeterminazione di Heisenberg e, con questo, di teorie del tutto. Da lì siamo arrivati alla questione del tempo.

Vale la pena notare che anche se abbiamo vagato guidati dai nessi abbiamo toccato temi che risultano centrali, come si spera risulterà piano piano più chiaro, per il nostro tentativo di cogliere come nasce la matematica nella mente umana.

Riprendiamo allora il nostro filo e rispondiamo con più chiarezza al perché Bourbaki volesse fortemente introdurre l'insiemistica nelle scuole fin dalla scuola primaria. Ci sembra di poter cogliere vari motivi. Iniziamo da quelli più evidenti, storici, razionali.

Sistematizzazione. Bourbaki voleva salvare, nella misura in cui era possibile dopo Gödel, l'idea di una matematica formale e sistematizzata. Bourbaki aveva ravvisato nella teoria assiomatica degli insiemi l'unica base possibile per una matematica formale e rigorosa e voleva diffondere l'uso di un'impostazione astratta basata sugli insiemi iniziando dalle scuole.

Strutture e morfismi. In tutto il 1900 si diffonde sempre più in matematica l'idea che lo strumento principe per scoprire nuovi risultati sia quello di studiare non tanto gli oggetti astratti in sé ma gli oggetti con una data struttura e le possibili trasformazioni (morfismi) tra oggetti con la stessa struttura. Questo salto di astrazione nel passare dallo studiare oggetti astratti a studiare le trasformazioni tra gli oggetti aveva in qualche modo portato a pensare che bisognasse premere verso l'astrazione anche nell'insegnamento della matematica.

Tuttavia i precedenti motivi non colgono, io penso, la vera spinta che portava Bourbaki ed altri a pensare che introdurre l'astrazione pura nella scuola primaria fosse utile e necessario. Veniamo allora ai motivi più latenti e collegati alle immagini nascoste.

Tabula rasa. Come abbiamo visto la teoria assiomatica degli insiemi riduce la matematica al concetto di contenitore (e, come vedremo, riduce in realtà la matematica al concetto di contenitore vuoto). Se la matematica è creazione umana, come pensiamo, e se la matematica porta perciò con se un'idea di ciò che gli esseri umani sono allora possiamo forse pensare che una matematica basata sulla teoria assiomatica degli insiemi porta con se l'idea degli esseri umani come tabulae rasae. Oppure possiamo pensare l'esatto contrario e dire che il pensiero culturale della tabula rasa diffuso nel 1800 porta a strutturare anche la matematica su questo modello ed a scegliere una matematica in cui il concetto di contenitore la fa da padrone.
L'idea che gli esseri umani siano recipienti da riempire può allora portare all'idea che le astrazioni vadano insegnate ed imposte fin dalla scuola primaria perché il bambino non sarebbe in grado di farle. L'idea dell'essere umano come contenitore da riempire di concetti nega la capacità di immaginare del bambino e con ciò nega anche la capacità di creare astrazioni da parte del bambino. La matematica non sarebbe creazione dell'essere umano, di ogni singolo essere umano, ma creazione dei padri o di dio oppure eredità evolutiva.
Se le cose stanno così, restano solo due modi per insegnare la matematica: imporre le astrazioni oppure rinunciare del tutto ed insegnare semplici regoline di utilità quotidiana che poco hanno a che fare con le capacità di astrazione della mente.

Questa immagine latente della tabula rasa potrebbe essere uno dei motivi forti che hanno portato Bourbaki a pensare che l'insiemistica andasse imposta ai bambini fin da piccoli.

Immagini. Nella sua ricerca di astrazione Bourbaki aveva esplicitato e verbalizzato un principio che era quello di eliminare nei suoi trattati e nel suo procedere qualunque uso e riferimento a disegni e figure ritenendo che esse potessero fuorviare la mente incanalandola in casi specifici non in grado di cogliere l'astrazione più generale possibile. Ci potremmo chiedere se quest'avversione per disegni e figure non celasse un'avversione per le immagini ossia per il senso umano e profondo delle cose. In tal caso l'avversione per le immagini andrebbe perfettamente d'accordo con la negazione della capacità di immaginare che abbiamo appena riscontrato.

Categorie. Spingiamoci oltre con le nostre ipotesi.
Negli anni 1950 si stava diffondendo un nuovo concetto matematico: si tratta del concetto di categoria con i suoi oggetti e le sue frecce. Parleremo con calma più avanti di tali concetti ma diciamo qua che le categorie rivoluzionano il modo di concepire le basi stesse della matematica e danno la possibilità di fondare la matematica in un modo che risulta in grado di raggiungere livelli di astrazione maggiore e perciò risultati più profondi e complessi. Lo scopo principale delle categorie, a differenza degli insiemi, è quello di cogliere fin da subito il concetto di relazione piuttosto che il concetto di contenitore.
Bourbaki era già nel pieno della sua produzione di trattati che organizzavano la matematica in maniera, secondo il gruppo, esaustiva e definitiva. E' noto che Bourbaki rinunciò all'idea di riorganizzare tutto il lavoro che aveva fatto per tenere in conto del nuovo importante concetto di categoria. Grothendieck, uno dei più grandi matematici di sempre e membro fondamentale di Bourbaki, si allontanò dal gruppo proprio per il rifiuto di questo di ricominciare tutto il lavoro usando il concetto di categoria.
Possiamo allora chiederci se dietro a questa insistenza di Bourbaki sull'introduzione dell'insiemistica nelle scuole non ci fosse il tentativo di oscurare in qualche misura una nuova nascente possibilità e più ancora il senso di questa nuova possibilità. Ossia, possiamo chiederci se Bourbaki voleva che non emergesse il concetto di categoria perché le categorie colgono il concetto di relazione mentre gli insiemi si fermano al concetto di contenitore.

Da un lato quindi avremmo la teoria degli insiemi con le correlate immagini di recipiente, contenitore, tabula rasa, matriosca e con, in qualche misura, la negazione della capacità di immaginare.
Dall'altro lato avremmo invece la teoria delle categorie con, come vedremo, le correlate immagini di relazione, freccia, capacità di immaginare.

E' una ricerca. Tutto da vedere, tutto da scoprire. Proseguiremo nei prossimi paragrafi.

Concludiamo dicendo che “la ragione fonda il suo essere sulla negazione della capacità di immaginare”. (Massimo Fagioli in ”Pulsione è realtà che, da sola, non esiste”, Left n.6 2015).