Gödel: Secondo Teorema di Incompetezza.

Gödel: Secondo Teorema di Incompetezza.

In questo paragrafo facciamo ancora alcune osservazioni sul Primo Teorema di Incompltezza di Gödel e tra queste enunciamo il Secondo Teorema di Incompletezza di Gödel.

Non possiamo qui accennare alla dimostrazione del Primo Teorema di Gödel perché è veramente troppo tecnica ed avanzata ma l'essenza della dimostrazione risiede nel fatto che Gödel grazie ad una costruzione molto sofisticata riesce a far parlare l'aritmetica di se stessa, riesce cioè a costruire degli enunciati aritmetici che possono essere interpretati come affermazioni sulla dimostrabilità di altri enunciati aritmetici.

In particolare Gödel mostra che in qualunque teoria matematica in grado di contenere al suo interno l'aritmetica si può costruire un enunciato aritmetico che se interpretato può essere così tradotto:

• Questo è un enunciato non dimostrabile.

Difronte ad un tale enunciato abbiamo due possibilità:

1. L'enunicato è falso: ed allora è un enunciato dimostrabile ma un enunciato falso non può essere dimostrabile, quindi si giunge a una contraddizione.
2. L'enunciato è vero: ed allora è vero che non è dimostrabile. Questa possibilità ha perfettamente senso: l'enunciato è vero ma non è dimostrabile.

Per cui verità e dimostrabilità non coincidono.

Possiamo interpretare la dimostrazione del Primo Teorema di Gödel come un raffinamento del paradosso del mentitore. Il paradosso del mentitore è dato dalla frase “Io sto mentendo”: se è vero che mento allora la frase è vera ma allora quello che dico deve essere una bugia per cui non deve essere vero che sto mentendo ... ecc.

Il paradosso del mentitore è un paradosso senza soluzione, è una frase mal costruita che porta a contraddizioni.

L'enunciato invece “Io sono un enunciato non dimostrabile” non porta a contraddizioni ed ha come soluzione il pensare che debba essere vero ma non dimostrabile.

Ribadiamo che la dimostrazione di Gödel è drasticamente più tecnica e raffinata e fa solo uso dell'aritmetica e non di metaragionamenti che esulano dalla matematica. Si tratta di una vera e propria dimostrazione data all'interno della stessa teoria matematica di cui sta ragionando.

Veniamo allora al Secondo Teorema di Incompletezza di Gödel.

Abbiamo visto che il Primo Teorema ci dice che vi sono enunciati non dimostrabili. Bene, il Secondo Teorema peggiora ancor più la situazione perché dà un esempio molto significativo di enunciato non dimostrabile. Gödel riesce a dimostrare (sempre in via strettamente formale) che:

• La consistenza degli assiomi di una teoria matematica non può essere dimostrata dalla teoria stessa.

In altre parole quando si usa una teoria matematica non si può mai sapere se la teoria stessa è non contraddittoria. Se un giorno avviene che si perviene a una contraddizione allora ovviamente abbiamo scoperto di avere a che fare con una teoria non consistente ma se, viceversa, non si sono ottenute contraddizioni per il momento, nulla può garantirci la consistenza della teoria: le contraddizioni potrebbero arrivare più avanti.

Questa è la verità della situazione: la matematica poggia tutta su un insieme di dieci assiomi ma non potremo mai dimostrare che questi assiomi non portano a contraddizioni. Possiamo solo sperare in bene. L'affermazione “Questi assiomi non sono contradditori” è un esempio di enunciato non dimostrabile all'interno della teoria matematica stessa. E, ripeto, l'enunciato “la non cotraddizione degli assiomi non è dimostrabile” è un teorema nella teoria stessa.

Chiedo in certo senso scusa a chi legge perché abbiamo dovuto affrontare delle pagine più tecniche e difficili. Ma i risultati di Gödel hanno una rilevanza importante quando si parla di fondare la matematica e non potevano essere saltati.

Torniamo allora ad interpretare il senso umano di ciò che la matematica ci offre.

Facciamoci coraggio e proviamo a dire che forse quello che abbiamo visto qui ci racconta qualcosa sulla razionalità. Abbiamo visto che la razionalità non può poggiare su stessa ed ha bisogno di basi (corrispondenti in matematica agli assiomi), adesso, trasportando i risultati di Gödel, possiamo forse spingerci a dire che anche dotando la razionalità di buone basi, essa non riesce a raggiungere la verità delle cose, non tutta. Forse perché non riesce a parlare di se stessa, perché non riesce a dire da dove nasce, o forse perché se parla di stessa dice bugie (come le teorie matematiche che tentano di dimostrare la propria consistenza).

Torneremo sull'origine della razionalità.

Gödel: Primo Teorema di Incompletezza.

Nel 1931 Kurt Gödel dimostrò formalmente che il progetto di Hilbert, nella forma in cui Hilbert lo aveva immaginato, era del tutto impraticabile.

Consideriamo un enunciato matematico, per esempio "2+2=4" oppure "i numeri primi sono infiniti" oppure "i numeri primi gemelli sono infiniti" (Nota 1: ricordiamo che due numeri primi si dicono gemelli se, oltre ad essere primi, sono numeri dispari consecutivi: per esempio 3 e 5 oppure 11 e 13 oppure 41 e 43).

Un enunciato matematico è vero se ... è vero, ossia se afferma qualcosa che nel mondo degli oggetti matematici vale. Per esempio: "2+2 = 4" è vero perché lo si vede contando, "i numeri primi sono infiniti" è un enunciato vero perché si riesce a dare una dimostrazione del fatto che vi sono infiniti numeri primi, "i numeri primi gemelli sono infiniti" è un enunciato che a tutt'oggi non si sa se è vero oppure falso, comunque è chiaro che deve essere vero o falso perché i numeri primi gemelli devono essere infiniti oppure finiti, non vi sono altre possibilità.

Abbiamo visto che la matematica parte da alcuni assiomi, ossia enunciati che si prendono per veri come punto di partenza, e, usando precise regole di inferenza, dimostra la verità di altri enunciati.

Una teoria matematica è definita dall'insieme di assiomi su cui poggia e dalle regole di inferenza che usa.

Ricordiamo che una teoria matematica si dice completa se in essa sono dimostrabili tutti gli enunciati che sono veri e che una teoria matematica si dice consistente se da essa non si possono dedurre contraddizioni.

Gödel, nel suo Primo Teorema di Incompletezza, dimostrò quanto segue (semplifichiamo qui l'enunciato del teorema per non entrare in difficili tecnicismi) per qualunque teoria matematica in grado di contenere al suo interno l'aritmetica di base:

• Una teoria matematica non può essere allo stesso tempo completa e consistente.
  In particolare in qualunque teoria matematica consistente esisteranno enunciati aritmetici veri che non saranno dimostrabili all'interno della teoria stessa.

Detto in altre parole: non vi è modo di scegliere gli assiomi della matematica in modo che poggiando su essi si possano dimostrare tutte le cose che sono vere in matematica. Verità e dimostrabilità di un enunciato non coincidono, in qualunque teoria esisteranno enunciati che sono veri di fatto ma che non possono essere dimostrati. 

Si potrebbe pensare che se una teoria non riesce a dimostrare tutti gli enunciati veri allora la si può arricchire aggiungendo degli assiomi per renderla più potente e sperare così di ottenere una teoria completa. Gödel ci dice che per quanto ci si sforzi di arricchire una teoria non arriveremo mai ad avere una teoria completa che possa dimostrare tutto ciò che è vero.

L'unico modo di avere una teoria che dimostra tutto è quello di avere una teoria inconsistente nel senso che dimostra anche le falsità ed in tal caso, ovviamente, abbiamo una teoria inutile.

Vale la pena di sottolineare di nuovo il fatto che il risultato di Gödel è esso stesso un teorema, cioè un enunciato dimostrato vero. Non si tratta cioè di un pensiero metamatematico o di una riflessione filosofica, ma di un fatto incontrovertibile formalmente dimostrato: "non esiste una teoria matematica in cui verità e dimostrabilità coincidono".

Il primo Teorema di Incompletezza di Gödel dà una secca risposta al primo punto del programma di Hilbert.

...

Per oggi abbiamo detto anche troppo ...

Continuo nei prossimi post con Gödel, paradossi, Heisenberg, teorie del tutto, Hawking.

Hilbert

Hilbert.

Dalla scoperta del Paradosso di Russell e di altri paradossi simili derivanti da una teoria naif degli insiemi che non regolava la costruzione degli insiemi stessi, nasce la necessità di creare una teoria assiomatica degli insiemi che eviti tali paradossi e nasce soprattutto una ricerca sul come fondare la matematica su basi solide.

Nel 1920 il famoso matematico David Hilbert propone un progetto di ricerca in metamatematica che prenderà il nome di Programma di Hilbert. La ricerca che Hilbert proponeva delineava un tentativo di dare un fondamento solido alla matematica e può essere così riassunta:

• Completezza: dimostrare formalmente che la matematica tutta può essere fatta derivare da un insieme finito di assiomi opportunamente scelti
• Consistenza: dimostrare formalmente che tale insieme di assiomi è consistente (cioè non può portare a contraddizioni).
• Decidibilità: trovare un algoritmo per decidere la verità o falsità di qualunque enunciato matematico.

A questo proposito Hilbert sostenne anche che “la matematica non è un gioco i cui compiti sono determinati da un insieme di regole pattuite arbitrariamente. Piuttosto invece, la matematica è un sistema concettuale che mostra delle necessità interne che possono essere solo tali e che non possono avere altre risposta”.

Questa affermazione ci interessa perché nel paragrafo “La matematica si scopre o si crea?” ci stavamo chiedendo se la matematica, e le basi della matematica, si scelgono.

Per Hilbert la matematica è manipolazione formale di simboli e le regole che governano questo formalismo rispondono a necessità intrinseche della matematica stessa per cui non possono essere “arbitrariamente pattuite”.

La questione è molto difficile e delicata, tuttavia continuo a chiedermi quanto i pensieri non coscienti dei matematici, e la cultura stessa, abbiano un peso nelle scelte che poi i matematici fanno; quanto, in altre parole, la matematica possa portare con se tracce ed immagini dei pensieri non coscienti che l'hanno creata o addirittura dei processi psichici che rendono noi esseri umani in grado di fare matematica.

Questo è fondamentalmente il senso di questo lavoro. L'idea di base è che la teoria della nascita di Massimo Fagioli possa gettare luce sul come nasce la matematica nella mente umana. Ci arriveremo piano piano.

Nel prossimo paragrafo vedremo la risposta matematica di Gödel a Hilbert ed il suo profondo significato teorico e filosofico.

Paradosso di Russell

Paradosso di Russell

Vediamo allora le basi storico-tecniche della spinta alla sistematizzazione della matematica.

Nel 1901 Bertrand Russell si rese conto che se gli insiemi si potevano costruire a piacimento senza seguire precise regole si andava incontro a contraddizioni.

Esponiamo qui il famoso paradosso di Russell, prima in modo informale e poi in modo formale.

Supponiamo che vogliamo fare un catalogo di cataloghi di libri.

Potrebbe capitare che alcuni cataloghi di libri elenchino se stessi fra i libri catalogati. (Per esempio il “Catalogo dei libri il cui titolo comincia per C” potrebbe elencare se stesso tra i libri che cominciano per C).

Ecco, noi vogliamo fare il catalogo di tutti i cataloghi che non elencano se stessi al loro interno.

Sembra sensato. Chiamiamo Catalogo M il nostro catalogo che elencherà quindi tutti e soli i cataloghi che non elencano se stessi al loro interno.

Se decidiamo di non elencare il Catalogo M all'interno del Catalogo M allora il Catalogo M è un catalogo che non elenca se stesso e perciò dovrebbe essere elencato nel Catalogo M.

Se decidiamo invece di elencare il Catalogo M all'interno del Catalogo M allora il Catalogo M non dovrebbe essere elencato nel nostro Catalogo M. In ogni caso perveniamo a una contraddizione.

Il paradosso di Russell si può raccontare anche con la storia del barbiere che fa la barba solo a coloro che non se la fanno da soli: se tale barbiere decide di farsi la barba contraddice se stesso perché la deve fare solo a coloro che non se la fanno da soli; se invece tale barbiere non si fa la barba da solo allora, proprio per questo, dovrebbe fare la barba a se stesso.

In maniera più formale il paradosso di Russell deriva dal tentare di costruire l'insieme R di tutti gli insiemi che non hanno se stessi come elementi. Ecco cosa succede: se R non appartiene a R allora, per definizione, abbiamo che R è un elemento di R. E, viceversa, se R appartiene a R allora, per definizione, R non deve essere un elemento di R. In ogni caso non vi è soluzione e siamo a una contraddizione.

I matematici si resero conto che la soluzione a questo paradosso sta nel fatto che si tratta di definizioni mal poste. Bisognava trovare delle regole, degli assiomi, che dicessero quali sono le costruzioni possibili che si possono fare con gli insiemi.

Questa fu la spinta teorico-tecnica a tentare una sistematizzazione della teoria degli insiemi e della matematica tutta.

In termini umani possiamo tradurre e dire che i matematici dovettero accettare che la razionalità non può poggiare su stessa e che tutte le volte che vi è autoreferenzialità si finisce per girare su stessi senza pervenire a niente. Bisognava scegliere delle basi da cui partire.

Il paradosso di Russell costringerà i matematici ad introdurre anche l'assioma di fondatezza (di cui parleremo più avanti) che evita appunto che un insieme possa appartenere a se stesso o che esistano catene infinite discendenti di insiemi ciascuno avente fra i suoi elementi l'insieme successivo della catena:

A1 ϶ A2 ϶ A3 ϶ A4 ϶ A5 ϶ A6 ϶ A7 ϶ ...

(ricordiamo che il simbolo ϶ significa “ha come elemento”).

Bisogna che gli insiemi siano ben fondati, abbiano una base. Non devono esistere annidamenti infiniti come questo:

{{{{{{{{{ ... }}}}}}}}}

dove le parentesi si annidano a oltranza.

Questo tipo di costruzioni con annidamenti infiniti richiama alla mente le elucubrazioni dell'uomo razionale e del filosofo che non riescono a trovare il bandolo della matassa perché hanno escluso dal loro pensiero il pensiero non cosciente fatto di immagini che dà concretezza ed identità all'essere umano.

Adolescenza e matematica.

Adolescenza e matematica.

Viene l'adolescenza. La ricerca dell'identità. La ricerca di se stessi, di ciò che si ha dentro.

La ricerca del contenuto. O meglio, la ricerca del contenuto del contenuto del contenuto

(già, come negli insiemi): contenente forse è il corpo, contenuto forse è il movimento, contenuto del contenuto è il pensiero che fa il movimento ed, infine, contenuto del contenuto del contenuto è il pensiero non cosciente, fatto di immagini, che è il motore primo.

Viene l'adolescenza e l'esigenza di poggiare la costruzione della propria identità sui pensieri più profondi che abbiamo, sui pensieri non coscienti appunto.

O almeno così dovrebbe essere. Ma non sempre è così e non sempre il tentativo riesce.

Non sempre si riesce ad essere abbastanza in rapporto con la parte non cosciente dei nostri pensieri. Non sempre si riesce ad essere abbastanza non scissi tra cosciente e non cosciente da riuscire in questo difficile passaggio.

Non sempre il non cosciente è abbastanza sano e pulito da sostenere il peso dell'identità in formazione.

Quando vi è scissione, il mondo cosciente è lontano da quello non cosciente. Il mondo cosciente è lontano dal sentire. L'identità profonda viene sostituita dall'identificazione coi padri, dalla corazza caratteriale, dalla gestione cosciente e razionale del comportamento. In questi casi si sta delineando un possibile adulto anaffettivo o schizoide.

Talvolta vi è invece malessere più o meno grave. Svezzamenti falliti, separazioni dai genitori che diventano apparentemente impossibili. Talvolta vi è rabbia, bramosia, delusione. Depressione.

E poi ancora: disagio col proprio corpo, difficoltà con gli affetti, difficoltà nelle relazioni e nei rapporti.

Cosa c'entra tutto questo con la matematica e con il filo del pensiero che stavamo seguendo?

C'entra perché capita che alcuni ragazzi, la cui identità non è abbastanza definita da reggere ai rapporti ed alle delusioni, scelgano la matematica come rifugio, come mondo in cui le cose tornano, come mondo in cui la complessità è gestibile, come mondo in cui essere bravi e sentirsi di valere.

Il mondo della matematica viene riconosciuto come mondo amico, non frustrante. Diventa il proprio mondo. Diventa il mondo in cui far tornare le cose. (Vedremo poi che questo riconoscere la matematica come mondo amico potrebbe essere dovuto al modo stesso in cui la matematica nasce e si forma nella mente umana).

I matematici.

I matematici sono strani. Lo dicono tutti.

I matematici non sono necessariamente razionali nella vita.

I matematici non sono necessariamente razionali quando fanno ricerca matematica, anzi.

I matematici sono rigorosamente logici quando danno la dimostrazione di un risultato.

I matematici fanno della matematica il loro mondo.¹

Ai non matematici la matematica produce angoscia e incomprensibilità perché toglie l'irrazionalità dei rapporti, la nebulosità dell'inconscio, l'indefinitezza della vita.

Per i matematici la matematica, in cui le cose tornano, placa l'angoscia prodotta dai rapporti.

I matematici hanno spesso la spinta a sistematizzare il loro campo di studio.

I matematici incanalano la razionalità, prodotta dalla fuga dai rapporti, nella sistematizzazione della matematica stessa.

Ma si può pervenire ad un paradosso: su cosa si basa la razionalità? Su se stessa?

(Nota 1: A questo proposito è ben nota la seguente barzelletta sui matematici.

L'avvocato: “meglio un'amante. Se hai una moglie e vuoi divorziare, vai incontro ad un sacco di problemi legali”.

Il medico: “meglio una moglie. Il senso di sicurezza che ti dà il matrimonio diminuisce lo stress”.

Infine il matematico: “meglio averle tutt'e due: così quando la moglie pensa che sei con l'amante e l'amante pensa che sei con la moglie, tu puoi andare al dipartimento di matematica in santa pace!”)

Bourbaki

[segue un mio lavoro di ricerca: "Immagini nella matematica"]

"Pecora con le poppe" e "Struzzo" di Linda.

Bourbaki.

Come abbiamo visto uno dei principali sostenitori dell'introduzione nelle scuole dell'insiemistica e dei simboli ad essa legati fu Jean Dieudonné.

Jean Dieudonné fu uno dei principali membri del gruppo matematico segreto Bourbaki.

Sotto il nome di Bourbaki si celava un gruppo composto da famosi e bravi matematici (quasi esclusivamente francesi) che si incontravano segretamente (a partire dagli anni 1930) con lo scopo di riscrivere la matematica tutta nel modo più astratto, rigoroso, pulito, elegante e generale possibile.

Bourbaki ha scritto decine di libri, pubblicato decine di articoli e dimostrato decine di importanti teoremi.

Alcuni degli aspetti fondamentali del lavoro di Bourbaki sono:

• tentativo di sistematizzare la matematica tutta
• assetto strettamente assiomatico e formale
• produrre un'opera autocontenuta
• rigore estremo
• esposizione dei risultati nella massima generalità
• massima astrazione possibile nella trattazione
• concisione, pulizia ed eleganza nelle dimostrazioni
• stile enciclopedico, esaustivo ma non neutrale
• abolizione di qualunque figura, disegno o schizzo
• uso della teoria assiomatica degli insiemi come base per tutti i risultati
• tentativo di ottenere una visione unificante grazie al concetto di struttura e trasformazione

A parte essere una storia curiosa ed interessante quella di Bourbaki ed a parte il fatto che il materiale prodotto da Bourbaki è sicuramente estremamente interessante per gli studiosi di matematica, ciò che qui ci interessa di più sottolineare è il tentativo da parte di Bourbaki di sistematizzare la matematica tutta, la sua avversione per disegni e figure, il suo tentativo di ottenere una visione unificante dei metodi matematici usando il concetto di struttura e di trasformazione (o morfismo) e la sua idea di far poggiare tutto sulla teoria assiomatica degli insiemi.

Tenendo in conto questi aspetti possiamo tentare di rispondere, un passo per volta, alle domande che sono emerse nel paragrafo precedente.

Cominciamo col vedere da dove nasce la spinta alla sistematizzazione.

"Insiemistica".

[Ricordo che in questa serie di post sto portando avanti un mio esperimento,
una mia ricerca, un tentativo di interpretare i movimenti della mente umana
quando crea matematica. Un tentativo di rintracciare l'origine stessa della capacità
umana di fare matematica.]

Prima di procedere con l'analisi degli assiomi della teoria degli insiemi e con la ricerca
delle immagini nascoste in questi assiomi, vorrei fare una piccola digressione storica
perché penso che la ricerca che sto tentando possa trarne beneficio.

La “rivoluzione” dell'insiemistica.
Negli anni 1950-1960 si assiste ad un tentativo di cambiare l'insegnamento della matematica
che investe tutta la scuola ed in particolare la scuola primaria.
Tra i principali promotori di questa spinta al cambiamento vi è il famoso matematico Jean Dieudonné.
Dieudonné era uno dei principali membri, nonché portavoce in incognito, del famoso gruppo matematico segreto Bourbaki (si veda paragrafo successivo).
Dieudonné promuove l'idea bourbakista che le astrazioni matematiche vadano introdotte nei currucula di matematica fin dalla scuola primaria.
Al Convegno di Royamont (Parigi) del 1959, dal tiotolo "Le nuove matematiche",
Dieudonné invita con forza il mondo dei matematici e degli insegnanti di matematica a una revisione radicale dell'insegnamento della matematica nell'intero percorso scolastico. Dieudonné propone in particolare un curruculo di matematica fondato fin dalla scuola primaria sull'uso del linguaggio e delle notazioni simboliche della teoria degli insiemi. Al grido di "A bas Euclide!", a voler significare l'inattualità della matematica greca ed in generale di tutto l'insegnamento tradizionale, propone che i bambini siano introdotti il prima possibile alle nozioni di struttura algebrica e trasformazione.
Come conseguenza di questa spinta, si assiste in molte parti del mondo a un profondo mutamento nel modo di introdurre ed insegnare la matematica nelle scuole.

In Italia per esempio nei programmi del 1979 per la scuola media il riferimento agli insiemi è presente, anche se non forte, nella seguente forma: "il linguaggio degli insiemi potrà essere usato come strumento di chiarificazione, di visione unitaria e di valido aiuto per la formazione di concetti".

Nella scuola primaria l’impatto degli "insiemi" ha ancora più presa ed i bambini vengono introdotti dai maestri al concetto di equipotenza per poter arrivare a dare una definizione di numero. Resti di questa impostazione sopravvivono talvolta ancora oggi nella scuola primaria.

Durante il decennio 1960-1970 tutti i paesi del mondo puntano all’acquisizione, senza intermediazioni, di concetti e strutture matematiche astratte.
Fa parte per esempio di questo movimento di cambiamento dell'insegnamento della matematica la corrente di pensiero che negli Stati Uniti va sotto il nome di New Math e che introduceva nelle scuole una serie di pratiche atte ad insegnare argomenti quali l'aritmetica modulare, le algebre booleane, la logica simbolica, le matrici, le strutture algebriche.

Domande
Nascono spontanee alcune importanti domande.
Chi era Bourbaki? Quale e perché il suo scopo?
Chi erano i bourbakisti?
Perché i bourbakisti ci tenevano ad introdurre l'insiemistica nelle scuole?


Proverò a rispondere nei prossimi paragrafi.

Identità.

Assioma di identità (o estensionalità).

La matematica tutta poggia su 10 assiomi dai quali, con regole di inferenza precise, è possibile dedurre tutti i risultati noti della matematica. Il primo di questi assiomi è l'assioma di identità (o estensionalità).

L'assioma di estensionalità ci dice che l'identità è definita in base agli elementi posseduti: se due insiemi possiedono gli stessi elementi allora sono uguali.

Siccome vogliamo trovare nessi tra quello che questi assiomi dicono e il senso che può assumere la matematica per i ragazzi e per gli esseri umani in generale, comincerei col sottolineare che questo assioma trasportato nel mondo umano sarebbe una totale negazione della realtà umana: “due esseri umani sono uguali se possiedono gli stessi oggetti o se possiedono le stesse conoscenze”, “l'identità umana è data dal possedere oggetti e conoscenze”. Un falso assoluto, ovviamente.

E prima di procedere rispondo subito ad un'ovvia obiezione che potrebbe sorgere: “perché trasportare questi assiomi dal mondo matematico al mondo degli esseri umani?”.

Perché forse è questo ciò che avviene nelle menti dei ragazzi. I ragazzi sono molto bravi a cogliere il senso profondo delle affermazioni e sono altrettanto bravi a trascurare il significato delle affermazioni stesse qualora il senso non sia da loro condiviso.

Rafforzo e chiarisco.

La matematica si scopre o si crea?

Rafforzo e chiarisco il mio pensiero.

Stiamo parlando del primo assioma su cui poggia tutta la matematica. Mi sembra pacifico pensare che, in quanto primo assioma, è un assioma che dà una forte impronta alla matematica tutta ed al modo con cui essa viene percepita.

La domanda che sorge è allora la seguente: la matematica si scopre o la matematica si crea?

Se la matematica si scopre allora non vi è spazio per interpretazioni poetiche di immagini oniriche nei meandri dei suoi assiomi e teoremi. Ma se la matematica invece si crea allora vi sono più modi di crearla, di pensarla, di raccontarla e di fondarla.

Se fra i possibili modi di crearla e pensarla è venuto alla mente dei matematici del secolo scorso di iniziare la matematica tutta con un assioma che dice “due insiemi sono uguali se hanno gli stessi elementi” ci si può chiedere qual'è l'immagine, il senso, il pensiero, il movimento della mente che ha portato i matematici in questa direzione.

La mia interpretazione, o quantomeno ipotesi di ricerca, è che dietro a questo assioma ci sia l'immagine che dice che la mente umana è come un “sacco di patate”, come una “tabula rasa”, come un contenitore da riempire: due menti riempite allo stesso modo saranno uguali.¹

In altre parole, la ricerca che sto tentando ci porta alla seguente domanda: quanto e come il pensiero della “tabula rasa” ha portato culturalmente a fondare la matematica sulla teoria degli insiemi? Si potrebbero dare basi diverse alla matematica?

In tutta onestà, non lo so. Ho delle ipotesi, ho una ricerca da raccontare.

Ho delle immagini in mente e vorrei condividerle.

E' qui che comincio ad addentrarmi in territori sconosciuti fatti di immagini ed interpretazioni.

Immagini non definite, interpretazioni non categoriche.

[1 - Questo è anche il filone di pensiero che porta al concetto di psicofarmaco: se la mente altro non è che un insieme di tubature in cui introdurre concetti, allora le malattie della mente si curano regolando i flussi di tali concetti e ciò può essere fatto in due modi: gestendo l'introduzione dei concetti oppure gestendo i rubinetti attraverso cui fluiscono i concetti. I rubinetti sarebbero i neurotrasmettitori e gli psicofarmaci altro non fanno che variarne i livelli. In quest'ottica non vi è spazio per i pensieri che nascono dalla mente stessa.]

Dalla teoria degli insiemi ...

Dalla teoria degli insiemi ...

Classicamente la matematica viene fatta poggiare sulla teoria assiomatica degli insiemi.

A partire dagli anni 1950 ci si è resi conto che la teoria assiomatica degli insiemi ha delle mancanze in quanto ad espressività e capacità di affrontare i problemi matematici ed è perciò che alla teoria assiomatica degli insiemi è stata affiancata la teoria delle categorie.

Inizierò comunque con una esposizione ed analisi della teoria assiomatica degli insiemi

perché è un punto di riferimento fondamentale e perché porta con se alcune immagini che se scoperte possono risultare importanti.

I concetti basilari della teoria degli insiemi sono “insieme” ed “appartenenza”; di tali concetti,

basilari appunto, non viene data una definizione.

Un insieme è pensato come una generica collezione (o famiglia, o classe) di elementi (o membri) dell'insieme. In altre parole, per dirla un po' più rudemente ma con un'immagine che aiuta, un insieme altro non è che un sacco di patate dentro al quale è possibile metterci sostanzialmente qualunque cosa.

Per fare in modo che la teoria degli insiemi sia abbastanza potente da permettere le costruzioni teoriche di cui la matematica necessita e per fare in modo che la teoria degli insiemi non vada in contro a contraddizioni, la teoria stessa viene fatta poggiare su una serie di assiomi, ossia regole che regolamentano la costruzione degli insiemi stessi.

Riporto qua gli assiomi della teoria assiomatica degli insiemi perché ci permetteranno di fare dei nessi precisi e di avere delle immagini precise su ciò che la matematica è nella sua essenza e su come ciascuno di noi possa rapportarsi con essa.

A chi leggesse e non avesse il gusto per i tecnicismi matematici dico di non spaventarsi, o di saltare l'elenco, perché ciò che più ci interesserà saranno gli aspetti umani che tenteremo di cogliere dietro a questi assiomi.

Gli Assiomi della Teoria Assiomatica degli Insiemi sono i seguenti:

1. Assioma di identità (o estensionalità): Due insiemi sono uguali se e solo se hanno gli stessi elementi.
2. Assioma dell'insieme vuoto: Esiste un insieme privo di elementi. Useremo {} per indicare questo insieme vuoto.
3. Assioma della coppia: Se x, y sono insiemi, allora lo è anche {x,y}, cioè un insieme contenente x e y come unici elementi.
4. Assioma dell'unione: Ogni insieme ha un'unione. Cioè, per ogni insieme x esiste un insieme y i cui elementi sono esattamente gli elementi degli elementi di x.
   Detto in parole più semplici dato un insieme x i cui elementi sono insiemi, è possibile costruire un insieme che ha come elementi tutti e soli gli elementi che appartengono ad almeno un insieme di x.
5. Assioma dell'infinito: Esiste un insieme x tale che {} è in x e ogni volta che y è in x, lo è anche l'unione y U {y}.
6. Assioma di specificazione: Dato un insieme qualsiasi e una generica proposizione P(x) (ossia una proprietà che si può testare sugli elementi), esiste un sottoinsieme dell'insieme originale contenente esattamente gli elementi x per cui vale P(x).
7. Assioma di rimpiazzamento: Dato un qualsiasi insieme e un'applicazione generica, formalmente definita come una proposizione P(x,y) dove P(x,y) e P(x,z) implicano y = z, esiste un insieme contenente precisamente le immagini degli elementi originali dell'insieme.
8. Assioma dell'insieme potenza: Ogni insieme ha un insieme potenza. Cioè, per ogni insieme x esiste un insieme y, tale che gli elementi di y sono esattamente i sottoinsiemi di x.
9. Assioma di fondatezza: Ogni insieme non vuoto x contiene un certo elemento y tale che x e y sono insiemi disgiunti.
10. Assioma della scelta: Dato un insieme x di insiemi non vuoti mutuamente disgiunti, esiste un insieme y che contiene esattamente un elemento per ogni elemento di x. (In altre parole: esiste un insieme y che è costruito scegliendo un elemento da ciascuno degli insiemi che appartengono a x).

Vedremo nei prossimi post un po' più in dettaglio il senso di ciascun assioma e cosa ci racconta ciascun assioma sull'immagine della matematica che da tali assiomi viene fuori.

Due teorie.

E' un po' che non scrivo.
Sono preso da varie ricerche personali.
In più devo scrivere una relazione per il mio anno di prova
come insegnante di ruolo nella scuola.

Ed allora ho pensato: la mia relazione per l'anno di prova
la scrivo qua, in questo blog, un pezzetto per volta.
Rendendola il più possibile umana, poetica, ricerca.

Ci provo poi vediamo.

 

Relazione per l'anno di prova.

Il nesso tra due teorie.

L'idea che si ha della matematica, il modo teorico con cui la si definisce e la si concepisce

determinano in larga misura i modi con cui si pensa di insegnarla.

L'idea che si ha dei ragazzi e l'idea che abbiamo di essere umano

determinano in larga misura i modi con cui si pensa all'insegnamento.

Non può esistere, a mio modo di vedere, una teoria dell'insegnamento senza che essa stessa poggi su una teoria precisa della realtà umana.

Detto in altri termini, io penso, non esiste insegnamento senza che esso poggi sull'ontologia umana.

Ed allora mi propongo di fare una ricerca e di tentare un accostamento tra due teorie: la teoria delle categorie e la teoria della nascita.

La prima, la teoria delle categorie, è un modo moderno di concepire la matematica nel suo insieme.

La seconda, la teoria della nascita, è un modo nuovo di fondare la psichiatria e l'ontologia umana (si veda Massimo Fagioli, "Teoria della nascita e castrazione umana").

Sulla teoria della nascita e sulle sue conseguenze teoriche si può far poggiare un modo di concepire l'insegnamento.

In questo lavoro tenterò uno strano nesso tra queste due teorie.

Da questo nesso tenterò di dedurre un pensiero sulla nascita stessa della matematica e

ne dedurrò un pensiero sui modi di affrontare l'insegnamento della matematica.

Una nota importante.

Mi propongo di fare qualcosa di nuovo.

Un volo pindarico, un salto mortale, un nesso strano.

Mi addentrerò in territori sconosciuti. Mi perderò nei territori dei poeti e degli piscoterapeuti.

Cercherò di mettere insieme matematica e poesia, matematica e realtà umana, matematica ed immagini mentali.

Cercherò di cogliere le immagini che stanno dietro alle idee matematiche e quando dico “immagini” intendo le immagini latenti, poetiche ed oniriche che le idee matematiche portano con se.

Cercherò in altre parole di interpretare il senso delle idee matematiche e non solo il loro mero significato.

Cogliendo il senso delle immagini nascoste nelle idee matematiche si potrebbe aprire, io penso, la porta a modi nuovi di concepire l'insegnamento della matematica stessa.

Le immagini, il senso, la poesia che stanno dietro a ogni cosa sono in grado di muovere, attrarre e sviluppare la mente più di qualunque significato pratico e razionale.

segue domani ...

Secondo e Terzo Anno - Video

ciao,
guzman.

Secondo e Terzo Anno.

Tre anni. Tre anni difficili. Abbiamo affrontato difficoltà enormi in questi tre anni
Abbiamo affrontato un primo anno in cui la prematurità si è fatta sentire
come irrequitezza, bisogno enorme di conferme, notti insonni sempre.
Noi abbiamo messo tutto il nostro impegno psico-fisico ma abbiamo spesso raggiunto
livelli di stanchezza che non credevo esistessero.
Nel secondo anno è arrivata l'oppositività dura (che ancora riemerge con una certa frequenza)
e la ricerca estenuante di una dialettica.
Con il secondo anno è iniziato anche un profondo lavoro interno
da parte nostra. Il secondo anno richiama per qualche motivo l'adolescenza
(autonomia, primi passi, ...) e ci ha costretti a rivedere quello che è stata la nostra adolescenza:
curare i fallimenti dell'adolescenza è un lavoro profondissimo a cui i bimbi ci
hanno costretto e ci costringono tutt'ora.
Il terzo anno dei bimbi è stato ancora un anno di fatica e dolore.
L'asilo nido (di mattina) è stato un impegno grande per i bimbi:
da un lato il nido li ha fatti aprire verso il mondo, dall'altro ha richiesto
loro uno sforzo enorme le cui conseguenze hanno poi costantemente riversato su di noi.
Il terzo anno è stato anche l'anno del mio tumore
che ha complicato tutto oltre misura e mi ha costretto ad affrontare
il passato ancora più a fondo.

Eppure. Eppure qualcosa abbiamo fatto.
Abbiamo lottato sempre per proteggere una ricerca
che tendesse a dare spazio alla realtà interna dei bimbi,
al loro linguaggio fatto di posture, corpo ed immagini.
Abbiamo lottato per fare un lavoro che cercasse una risposta di contenuto umano
da dare ai bambini. Piuttosto che dare una risposta solamente materiale e perciò anafettiva.

Adesso. Dopo tre anni di fatica estrema ci sembra di cominciare a vedere
che qualcosa abbiamo fatto. Qualcosa abbiamo protetto.
E forse non abbiamo fallito.

Forse abbiamo protetto il contenuto umano, l'identità, la vitalità, lo spessore
dei bambini. E ci sembra di cogliere tutto ciò nei loro gesti, pensieri, movimenti e parole.

Io e Maria Carla siamo matematici di formazione
ma forse teniamo più agli aspetti umani che a quelli logici.
Così facciamo anche in classe quando insegniamo a scuola
e la cosa bella e strana e che poi questo fa si che ai ragazzi
piaccia la matematica.



ciao,
guzman.

Libertà

ciao,
guzman.

Ritmi

Tum Tum, Tatatà.

Luca ha imparato a fare questo ritmo battendo le mani.
Lo ha imparato all'asilo. E' un bell'asilo, c'è un bel clima disteso.
Vorrei pensare che parte della sua voglia di conoscere e imparare
viene dal nostro aver protetto e stimolato le sue possibilità.
Luca ama i libri e vuole sempre che qualcuno gliene legga tanti.

Linda invece disegna sempre meglio e nel disegnare sfrutta una complessità
e varietà di idee e strutture che mi lascia affascinato.
Linda ama le filastrocche, le storie ed suoi "bambini" (i bambolotti).
A Linda piacciono le cose da femmine: collane, smalti, braccialetti, ...
Linda ha una particolare sensibilità per il contenuto umano degli altri.
"Perché quel signore è arrabbiato?", "Perché quella mamma è brutta?" mi chiede.

Mi tocca nel profondo l'affettività che mettono in ogni gesto, in ogni azione,
in ogni decisione. Mi fa sentire di dover far tanto per loro.
Mi fa sentire che sono ancora tanti e grandi i passi che devo fare
per essere abbastanza sano da non sciupare il loro contenuto umano.
Per essere abbastanza sano da opporre rifiuti puliti quando sono necessari.
_______

E' stato un periodo impegnativo per noi.
Siamo al lavoro tutti e due ed i bimbi vanno all'asilo solo di mattina.
Insegniamo in una scuola per nulla facile ed usciamo stanchi dal lavoro.
La sera, dopo aver giocato tutto il pomeriggio con i bambini e dopo averli messi a letto,
ci troviamo alle 10 o alle 11 a dover preparare ore di lezione per il giorno dopo.
Andiamo a letto tardi ed i bambini ci svegliano ancora molte volte nella nottata
per il latte. La sveglia del mattino arriva come una mazzata.
Però i bambini stanno bene e questo ci aiuta a sforzarci
in attesa di ritmi meno estenuanti.
Stiamo anche provando a preparare le lezioni il pomeriggio
mentre i bimbi giocano da soli ma non sempre è facile.

Si tratta di tenere.
Lo sapevo a priori che si trattava di tenere.
Non fare vuoti. Non credere al vuoto.
Perché "arriva l'inverno, il lavoro importante, per dare a tutti un'altra estate".

Ritrovare i propri spazi, i propri ritmi, i propri tempi.
Dopo due anni con due bimbi piccoli
ed un anno con due bimbi piccoli ed un tumore da affrontare,
tutto è da reinventare adesso e spesso non viene facile.

Ma Linda cresce e racconta del suo interesse per gli altri.
Linda cresce ed è esigente, estremamente esigente, perché così è per natura e vissuto,
perché così l'ho voluta lasciar essere io.

E Luca cresce e racconta dei suoi interessi,
della sua libertà, dei suoi pensieri.
E' vitale Luca e così lo abbiamo lasciato essere.

Ed allora, forse, il vuoto passa perché non può esistere.
Il ricordo dei propri fallimenti umani lascia spazio
alla memoria dei bambini che eravamo
ed alla forza che avevamo nel far passato il passato
per affrontare con affetto il presente.
Perché annullare il qui e l'ora è la pulsione più distruttiva
per la mente dei bambini che si possa avere.

______________________

Libertà.

Teatro.

Spazi.

foto fatta da Linda

Disegni.

Usando solo i disegni più interessanti di Novembre, abbiamo tappezzato una grande parete,
eccone una piccola parte:

Arrampicate.

Altre foto di Ottobre.
Altre foto di Dicembre.
[varie foto sono state fatte da Linda].

ciao,
guzman.

Mamma con bambina

"Mamma con bambina" di Linda.
La bambina è attaccata alla gamba della mamma mi ha spiegato Linda.

La "scritta" sulla destra è invece la firma.

ciao,
guzman.