Peano.

Peano.

Siamo arrivati a discutere la natura profonda dei numeri naturali. Non possiamo non parlare di Peano.

Il geniale matematico Giuseppe Peano diede nel 1889 una precisa e fondamentale caratterizzazione dei numeri interi. Peano definì le proprietà caratterizzanti dei numeri naturali per mezzo di 5 assiomi. (Facciamo notare che gli assiomi di Peano non sono necessari per fondare la matematica se essa viene fatta poggiare sulla teoria assiomatica degli insiemi, essi sono solo un modo di raccontare le proprietà essenziali dei numeri naturali). Nell'enunciare gli assiomi di Peano si usa la funzione “successore” che associa ad ogni numero il suo successore. Gli assiomi di Peano sono i seguenti, scritti nella forma più semplice possibile:

1. 0 è un numero naturale.
2. Per ogni numero naturale n, il successore di n è un numero naturale.
3. Se due numeri naturali hanno lo stesso successore allora essi sono lo stesso numero.
4. 0 non è il successore di nessun numero naturale.
5. Se un insieme K di numeri naturali contiene lo 0 ed è vero che ogni volta che contiene un numero contiene necessariamente anche il successore di tale numero, allora K contiene tutti i numeri naturali.

- Il primo assioma assicura che lo 0 sta nell'insieme dei numeri naturali e con ciò assicura che l'insieme dei numeri naturali non è vuoto; così come un assioma della teoria degli insiemi assicura che l'insieme vuoto esiste e con ciò che la teoria non è vuota.

- Il secondo assioma può essere considerato una freccia, un processo. Dato un numero naturale si può passare al successivo ed esso sarà ancora un numero naturale. Questo assioma coglie l'essenza del processo mentale del contare. Esso coglie il fondamentale processo specificamente umano di separarsi da un numero per immaginare il successivo in una scansione che è intimamente connessa con la scansione del tempo o addirittura con la creazione del movimento del tempo nella mente umana.

- Il terzo assioma assicura che non si creino dei loop come i seguenti, in cui, per esempio. il 2 è successore di due numeri:

- Il quarto assioma assicura che non si creino loop come i seguenti, in cui lo 0 diventa successore di un altro numero o di se stesso:

- Il quinto assioma, detto anche Principio di Induzione, è di importanza fondamentale perché caratterizza un'importante proprietà dei numeri naturali e cioè il fatto che essi si possono ottenere tutti partendo dallo 0 ed applicando a oltranza la funzione “successore”.

Un modo leggermente diverso di enunciare il Principio di Induzione è il seguente. 

E' data una proprietà che ogni numero può avere oppure no. 

Se è vero che:

1. La proprietà vale per lo 0.
2. Ogni volta che la proprietà vale per un numero naturale allora possiamo dedurre che vale anche per il numero successivo.

Allora in queste condizioni, la proprietà deve essere vera per tutti i numeri naturali.

Il principio di induzione mostra in maniera molto chiara che i numeri naturali sono caratterizzati dalla funzione di passaggio al successivo. E' questa freccia, questo processo, questa funzione di passaggio al successivo che è in grado di generare tutti i numeri. Questa è l'essenza e la natura dei numeri naturali, il fatto che passando da uno al successivo si possono ottenere tutti.
Da questo punto di vista la definizione dei numeri come classi di insiemi equipotenti non è molto significativa.