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Scuola: Cabri - Disegni - Sketchup

lunedì 30 marzo 2015

Astrazioni.

Astrazioni.

Negli anni 1980 dopo un attento lavoro di ricerca teorica ed empirica si arriva ad un forte ripensamento riguardo alla corrente bourbakista ed in particolare riguardo all'adeguatezza di un'acquisizione diretta da parte dei bambini di concetti e strutture matematiche astratte.
Nel 1987 nella stessa Francia di Bourbaki il Ministero dell'Educazione emana una circolare nella quale è scritto senza mezzi termini che “i simboli dell'insiemistica sono fuori dai programmi, come ogni nozione riguardante gli insiemi”.
L'idea di proporre ai bambini astrazioni matematiche già elaborate senza che essi possano giungervi da soli nega la capacità di organizzare la mente da parte del bambino. Possiamo riassumere quanto stiamo dicendo con una figura:



Passare attraverso i propri pensieri, i propri errori, i propri tentativi rende al bambino la verità della meta raggiunta. Dare ad ogni bambino il tempo di cui necessita perché la sua mente giunga a cogliere le idee sulle quali si sta lavorando fa si che i concetti raggiunti vengano giustamente percepiti come propri perché saranno frutto di una propria elaborazione personale che seguirà tempi e modi del tutto personali. Anche nel caso che il bambino non riesca a cogliere tutte le idee sulle quali si sta lavorando avrà comunque colto l'importanza di provare a pensare ed elaborare nuovi concetti in autonomia. L'insegnamento della matematica dovrebbe essere innanzitutto abitudine a pensare. L'insegnamento della matematica dovrebbe sottolineare in maniera estrema l'importanza del processo del pensiero piuttosto che la meta, la regola, il risultato. Da questo punto di vista l'insegnamento della matematica nelle nostre scuole mi sembra ancora molto indietro.
Nella mia esperienza personale ho sempre trovato che è difficile trovare ragazzi a cui non piace la matematica se la matematica è gioco del pensiero.
Torneremo su questi aspetti quando avremo maggiori strumenti per difendere le nostre posizioni teoriche.



Bourbaki e le immagini


Torniamo a Bourbaki.

Riassumiamo.
Abbiamo volato e sterzato lasciandoci guidare dai nessi.
Siamo partiti con l'idea di cogliere le immagini di valore umano contenute o nascoste nella teoria assiomatica degli insiemi.
Ci siamo poi chiesti chi aveva introdotto l'insiemistica nelle scuole. Abbiamo detto che era stato fondamentalmente Bourbaki e ci siamo chiesti perché c'era stata questa volontà di introdurre l'insiemistica nelle scuole. Non abbiamo ancora del tutto risposto ma una prima risposta l'abbiamo trovata nella spinta alla sistematizzazione della matematica in voga ad inizio del 1900.
Abbiamo per questo parlato di Russell e Hilbert e poi di Gödel e dei suoi teoremi.
Gödel ci ha poi portato ad interessarci del principio di indeterminazione di Heisenberg e, con questo, di teorie del tutto. Da lì siamo arrivati alla questione del tempo.

Vale la pena notare che anche se abbiamo vagato guidati dai nessi abbiamo toccato temi che risultano centrali, come si spera risulterà piano piano più chiaro, per il nostro tentativo di cogliere come nasce la matematica nella mente umana.

Riprendiamo allora il nostro filo e rispondiamo con più chiarezza al perché Bourbaki volesse fortemente introdurre l'insiemistica nelle scuole fin dalla scuola primaria. Ci sembra di poter cogliere vari motivi. Iniziamo da quelli più evidenti, storici, razionali.

Sistematizzazione. Bourbaki voleva salvare, nella misura in cui era possibile dopo Gödel, l'idea di una matematica formale e sistematizzata. Bourbaki aveva ravvisato nella teoria assiomatica degli insiemi l'unica base possibile per una matematica formale e rigorosa e voleva diffondere l'uso di un'impostazione astratta basata sugli insiemi iniziando dalle scuole.

Strutture e morfismi. In tutto il 1900 si diffonde sempre più in matematica l'idea che lo strumento principe per scoprire nuovi risultati sia quello di studiare non tanto gli oggetti astratti in sé ma gli oggetti con una data struttura e le possibili trasformazioni (morfismi) tra oggetti con la stessa struttura. Questo salto di astrazione nel passare dallo studiare oggetti astratti a studiare le trasformazioni tra gli oggetti aveva in qualche modo portato a pensare che bisognasse premere verso l'astrazione anche nell'insegnamento della matematica.

Tuttavia i precedenti motivi non colgono, io penso, la vera spinta che portava Bourbaki ed altri a pensare che introdurre l'astrazione pura nella scuola primaria fosse utile e necessario. Veniamo allora ai motivi più latenti e collegati alle immagini nascoste.

Tabula rasa. Come abbiamo visto la teoria assiomatica degli insiemi riduce la matematica al concetto di contenitore (e, come vedremo, riduce in realtà la matematica al concetto di contenitore vuoto). Se la matematica è creazione umana, come pensiamo, e se la matematica porta perciò con se un'idea di ciò che gli esseri umani sono allora possiamo forse pensare che una matematica basata sulla teoria assiomatica degli insiemi porta con se l'idea degli esseri umani come tabulae rasae. Oppure possiamo pensare l'esatto contrario e dire che il pensiero culturale della tabula rasa diffuso nel 1800 porta a strutturare anche la matematica su questo modello ed a scegliere una matematica in cui il concetto di contenitore la fa da padrone.
L'idea che gli esseri umani siano recipienti da riempire può allora portare all'idea che le astrazioni vadano insegnate ed imposte fin dalla scuola primaria perché il bambino non sarebbe in grado di farle. L'idea dell'essere umano come contenitore da riempire di concetti nega la capacità di immaginare del bambino e con ciò nega anche la capacità di creare astrazioni da parte del bambino. La matematica non sarebbe creazione dell'essere umano, di ogni singolo essere umano, ma creazione dei padri o di dio oppure eredità evolutiva.
Se le cose stanno così, restano solo due modi per insegnare la matematica: imporre le astrazioni oppure rinunciare del tutto ed insegnare semplici regoline di utilità quotidiana che poco hanno a che fare con le capacità di astrazione della mente.

Questa immagine latente della tabula rasa potrebbe essere uno dei motivi forti che hanno portato Bourbaki a pensare che l'insiemistica andasse imposta ai bambini fin da piccoli.

Immagini. Nella sua ricerca di astrazione Bourbaki aveva esplicitato e verbalizzato un principio che era quello di eliminare nei suoi trattati e nel suo procedere qualunque uso e riferimento a disegni e figure ritenendo che esse potessero fuorviare la mente incanalandola in casi specifici non in grado di cogliere l'astrazione più generale possibile. Ci potremmo chiedere se quest'avversione per disegni e figure non celasse un'avversione per le immagini ossia per il senso umano e profondo delle cose. In tal caso l'avversione per le immagini andrebbe perfettamente d'accordo con la negazione della capacità di immaginare che abbiamo appena riscontrato.

Categorie. Spingiamoci oltre con le nostre ipotesi.
Negli anni 1950 si stava diffondendo un nuovo concetto matematico: si tratta del concetto di categoria con i suoi oggetti e le sue frecce. Parleremo con calma più avanti di tali concetti ma diciamo qua che le categorie rivoluzionano il modo di concepire le basi stesse della matematica e danno la possibilità di fondare la matematica in un modo che risulta in grado di raggiungere livelli di astrazione maggiore e perciò risultati più profondi e complessi. Lo scopo principale delle categorie, a differenza degli insiemi, è quello di cogliere fin da subito il concetto di relazione piuttosto che il concetto di contenitore.
Bourbaki era già nel pieno della sua produzione di trattati che organizzavano la matematica in maniera, secondo il gruppo, esaustiva e definitiva. E' noto che Bourbaki rinunciò all'idea di riorganizzare tutto il lavoro che aveva fatto per tenere in conto del nuovo importante concetto di categoria. Grothendieck, uno dei più grandi matematici di sempre e membro fondamentale di Bourbaki, si allontanò dal gruppo proprio per il rifiuto di questo di ricominciare tutto il lavoro usando il concetto di categoria.
Possiamo allora chiederci se dietro a questa insistenza di Bourbaki sull'introduzione dell'insiemistica nelle scuole non ci fosse il tentativo di oscurare in qualche misura una nuova nascente possibilità e più ancora il senso di questa nuova possibilità. Ossia, possiamo chiederci se Bourbaki voleva che non emergesse il concetto di categoria perché le categorie colgono il concetto di relazione mentre gli insiemi si fermano al concetto di contenitore.
Da un lato quindi avremmo la teoria degli insiemi con le correlate immagini di recipiente, contenitore, tabula rasa, matriosca e con, in qualche misura, la negazione della capacità di immaginare.
Dall'altro lato avremmo invece la teoria delle categorie con, come vedremo, le correlate immagini di relazione, freccia, capacità di immaginare.
E' una ricerca. Tutto da vedere, tutto da scoprire. Proseguiremo nei prossimi paragrafi.

Concludiamo dicendo che “la ragione fonda il suo essere sulla negazione della capacità di immaginare”. (Massimo Fagioli in ”Pulsione è realtà che, da sola, non esiste”, Left n.6 2015).


lunedì 23 marzo 2015

Il problema del tempo



Il problema del tempo

Uno dei grandi problemi nel tentare di unificare la teoria quantistica dei campi
con la teoria della relatività è la questione del tempo.

Nella teoria quantistica l'evoluzione di un sistema viene scandita dal tempo ed il sistema
è in grado di predire le probabilità degli eventi ad un determinato tempo futuro. Il tempo in questa
teoria ha un ruolo speciale in quanto viene considerato come una variabile assoluta e indipendente,
come un parametro esterno al sistema stesso. In particolare nella teoria quantistica ha senso
parlare di misurazioni fatte ad un determintato tempo (ed è per mezzo di tali misurazioni
che una distribuzione di probabilità diventa un evento specifico ad un determinato tempo).

Nella teoria della relatività lo spazio-tempo non è un oggetto assoluto esterno al sistema,
esso è un oggetto dinamico in grado di cambiare in funzione delle proprietà del sistema stesso:
massa, energia, velocità. Vi è per esempio una reazione dello spazio-tempo alla presenza di materia.
Nella teoria della relatività ogni osservatore ha il suo orologio che scandisce il tempo in maniera diversa dagli altri, non esiste un tempo assoluto a cui riferirsi. Non ha senso, per esempio, parlare di eventi simultanei e, addirittura, non ha senso dire che l'evento A è avvenuto prima dell'evento B
perché per un altro osservatore lo stesso evento B potrebbe essere stato osservato prima dello stesso evento A (e non per errori di misura, ma come reltà dei fatti).
Questa profondamente diversa concezione del tempo rende molto difficile l'unificazione delle due teorie.

Vi è forse a monte anche un problema di definizione della nozione di tempo.
Non è facile definire il tempo.
Si potrebbe dire che il tempo è ciò che gli orologi misurano ma si entrerebbe in definizioni circolari.
Si potrebbe dire che il tempo è ciò che fa si che non tutti gli eventi siano simultanei ma ci si troverebbe a dover definire la simultaneità.
Dare una definizione del concetto di tempo è difficilissimo perché il tempo è uno dei contenitori,
dei riferimenti di base, su cui poggiano tutte le nostre nozioni, visioni, percezioni, definizioni.

Questo nostro specifico interesse in questa trattazione per il concetto di tempo deriva dal fatto che, come vedremo, la nascita del pensiero umano, e con questo anche della matematica,
è strettamente legata alla nozione di tempo.

Un problema molto delicato è capire quanto il concetto di tempo non sia, in qualche misura,
un modo specificamente umano di percepire il mondo. Ossia, il fatto che noi esseri umani
percepiamo il mondo intorno a noi con tre dimensioni di spazio ed una di tempo potrebbe
essere un nostro modo di percepire il mondo senza che questo corrisponda alla realtà delle cose
(le attuali teorie fisiche ipotizzano per esempio che le dimensioni di spazio siano molto più di tre).

Vi è infine un ultimo aspetto significativo e riguarda la cosiddetta "freccia del tempo" ossia
il fatto che il tempo, a differenza dello spazio, ha un verso in cui scorre.
Anche se le leggi della fisica delle particelle sono simmetriche rispetto al tempo, per cui
se il tempo scorresse a rovescio tutto andrebbe a rovescio a livello microspico,
a livello macrospico si osservano fenomi che rendono il tempo asimmetrico e lo orientano in un verso. Tra questi riportiamo in seguenti che ci sembrano molto significativi.

  • Entropia. Il tempo scorre nella direzione in cui aumenta il disordine dell'universo. In parole semplici: una pila di scatole lasciate alle intemperie tenderà a smontarsi ed è poco probabile che una bufera di vento la rimetta in piedi. Questa tendenza al disordine che mostrano tutti i sistemi fisici dà un verso al tempo e può essere usata per distinguere il prima dal poi. "Poi" è in generale dove c'è più caos.
  • Incertezza. Il principio di indeterminazione di Heisenberg comporta una correlazione tra la conoscenza che possiamo avere delle variabili di un sistema (non si può per esempio conoscere con precisione velocità e posizione di una particella). Via via che passa il tempo aumenta l'incertezza della conoscenza in quanto aumenta la correlazione (entanglement) tra le variabili che descrivono lo stato delle particelle dell'universo. Questo aumento della correlazione tra variabili del sistema dà un verso al tempo. [Forse torneremo sul concetto di entanglement perchè sembra nascondere qualcosa di importante e curioso ...]
  • Memoria. Vi è un'ovvia orientazione del tempo, al di là dei ragionamenti fisici, data dal nostro modo di percepire la realtà: ci si ricorda del passato e non del futuro, ovviamente.


Nella nostra trattazione il tempo giocherà un ruolo fondamentale quando, a breve, tenteremo di descrivere la Teoria della Nascita di Massimo Fagioli.






lunedì 16 marzo 2015

Teorie del Tutto

Gatto", Linda, Marzo 2015

Teorie del Tutto.

Abbiamo visto nel paragrafo precedente che la scienza moderna ha rinunciato all'idea del determinismo stretto. La realtà fisica viene spiegata in termini di probabilità.

Resta comunque aperta una grande domanda. Può esistere una teoria del tutto?
Può esistere cioè una teoria coerente che poggiando su un numero finito di leggi scientifiche sia in grado di spiegare tutti i fenomeni fisici?
Una tale teoria sarebbe in grado spiegare tutti i fenomeni dell'universo perché la chimica, la biologia e tutte le altre scienze derivano dalla fisica.
Le due teorie su cui poggia tutta la fisica moderna sono:
  • La Teoria della Relatività
  • La Teoria Quantistica dei Campi
La Teoria della Relatività di Einstein spiega i fenomeni connessi solo con la gravità e si occupa di fenomeni su larga scala. La teoria della relatività collega per mezzo di complesse equazioni matematiche il concetto di spaziotempo (ossia lo spazio ed il tempo visti come un'unica entità) alla materia ed all'energia. La teoria della relatività riesce così a dare una descrizione coerente della gravità come proprietà geometrica dello spaziotempo: in particolare, come viene spesso detto, nella teoria della relatività lo spaziotempo dice alla materia come muoversi e la materia e l'energia dicono allo spaziotempo come curvarsi.
E' difficile raccontare di più di questa elegante ed affascinante teoria senza entrare in tecnicismi avanzati.
Possiamo forse solo aggiungere che la teoria della relatività generalizza le idee della Teoria della Relatività Ristretta (sempre di Einstein) che prendeva come base due principi fondamentali: 1) le leggi della fisica devono essere uguali per qualunque sistema senza accelerazioni, 2) la velocità della luce nel vuoto è sempre la stessa per qualunque osservatore indipendentemente dal movimento della sorgente.

La Teoria Quantistica dei Campi è una teoria che spiega i fenomeni connessi con le forze non gravitazionali (forza nucleare forte, forza nucleare debole, forza elettromagnetica) e si occupa di fenomeni su piccola scala. Nella teoria quantistica tutto è quantizzato cioè appare in pacchetti, o quanti: l'energia e la materia sono composte di questi pacchetti di base non ulteriormente divisibili.

I fisici hanno sperimentalmente confermato con grande precisione ogni aspetto e predizione di entrambe le teorie quando applicate ciascuna nel suo ambito di validità.
E' anche ben noto però che le due teorie sono mutuamente incompatibili e non possono essere entrambe corrette: quando applicate a fenomeni che coinvolgono una grande massa in un piccolo spazio (come accade nei buchi neri o nei primissimi stadi di formazione dell'universo) le due teorie predicono risultati molto diversi. Questo è senz'altro il più grande problema aperto della fisica.
Negli ultimi decenni la ricerca di una teoria del tutto che riesca ad unificare in qualche modo la teoria della relatività e la teoria quantistica ed a rivelare un verità fisica più profonda, è stata condotta con enorme impegno e sforzo da parte dei fisici teorici e dei matematici. Ma il problema resta aperto. (Ci torneremo su anche nel prossimo paragrafo).

Può esistere una teoria del tutto?
Vari studiosi si sono posti il problema se non esista una connessione tra il Teorema di Incompletezza di Gödel e la difficoltà a trovare una Teoria del Tutto.
Una Teoria del Tutto sarebbe senza dubbio una teoria matematica consistente non banale e perciò per il Teorema di Incompletezza di Gödel essa dovrebbe essere una teoria incompleta che non riesce cioè a provare tutte le verità ed a descrivere tutti i fenomeni dell'universo. Per cui una Teoria del Tutto non sarebbe in realtà una teoria del tutto. Stephen Hawging ha detto:
Some people will be very disappointed if there is not an ultimate theory, that can be formulated as a finite number of principles. I used to belong to that camp, but I have changed my mind. - Gödel and the end of physics, 2002.



lunedì 9 marzo 2015

Heisenberg: Principio di Indeterminazione.

Heisenberg.

[Questo paragrafo è liberamente tratto da un capitolo del libro “Una breve storia del tempo” di Stephen Hawking].

Il successo delle teorie fisiche, in particolare della Teoria della Gravità di Newton, avevano condotto nel 1800 a pensare che l'universo fosse totalmente deterministico e che potesse esistere un insieme di leggi scientifiche in grado di predire tutto ciò che accadrà nell'universo se solo conoscessimo lo stato completo dell'universo in un singolo istante.

Nel 1900 Max Plank, per risolvere alcuni paradossi della fisica riguardanti le onde elettromagnetiche, introduce l'idea che la luce e le altre onde elettromagnetiche non possono essere emesse in quantità arbitrarie ma soltanto a pacchetti, che lui chiama “quanti”. Quindi un fascio di luce viene pensato come composto da una successione di piccolissimi pacchetti (chiamati in seguito fotoni).

Nel 1926 (stessi anni in cui Gödel lavorava a dimostrare i suoi teoremi) Heisenberg si rende conto che l'ipotesi dei quanti ha una conseguenza importante: di una particella non è possibile conoscere allo stesso tempo con precisione posizione e velocità; se si aumenta la precisione con cui si conosce la posizione, diminuirà la precisione con cui si conosce la velocità. [Non entro qui nel dimostrare come questo principio derivi dall'ipotesi dei quanti ma non è difficile].
Questo principio prenderà il nome di Principio di Indeterminazione di Heisenberg e si applica non solo alla coppia posizione-velocità ma anche ad altre coppie di variabili, dette variabili complementari, come per esempio alla coppia energia-tempo: se consideriamo un fotone, una misurazione precisa della sua energia rende imprecisa la misurazione del tempo e viceversa.

Il Principio di Indeterminazione di Heisenberg ha profonde implicazioni nel modo di concepire il mondo ed in particolare segna la fine dell'idea che possa esistere un modello scientifico del mondo prettamente deterministico: non si possono certo prevedere gli eventi futuri se non possiamo neanche misurare lo stato attuale delle particelle con precisione.
In molti hanno riscontrato una qualche similitudine o parallelismo tra il Teorema di Incompletezza di Gödel ed il Principio di Indeterminazione di Heisenberg; questo parallelismo tra matematica e fisica, quando si tratta di cogliere la verità del mondo, diventerà ancora più esplicito nel prossimo paragrafo in cui parliamo delle cosiddette Teorie del Tutto.

Nella meccanica quantistica si prende il Principio di Indeterminazione come base e si decide perciò che le particelle non hanno più una posizione ed una velocità ben definite ma hanno uno stato quantico dato dalla combinazione di posizione e velocità. In generale la meccanica quantistica non predice un singolo e definito risultato per una osservazione ma predice invece un numero di diversi possibili risultati e ce ne indica le probabilità.
La quantistica introduce quindi un inevitabile elemento di non predicibilità e di casualità nella scienza del mondo che elimina ogni idea di determinismo.

E' interessante notare che la luce è un'onda ma che l'ipotesi dei quanti di Plank ci dice che per certi versi la luce è composta di particelle, la si può emettere ed assorbire solo in pacchetti, o quanti. Viceversa il Principio di Indeterminazione di Heisenberg implica che le particelle si comportano sotto certi aspetti come onde: non hanno una posizione ben definita ma sono “spante” nello spazio secondo una certa distribuzione di probabilità. C'è quindi una dualità tra onde e particelle.


Come ultima osservazione facciamo notare che dal Principio di Indeterminazione di Heisenberg deriva che in fisica il vuoto assoluto non può esistere: se in una zona dell'universo ci fosse il vuoto assoluto questo implicherebbe che i campi gravitazionali ed elettromagnetici avrebbero valore zero e tasso di variazione zero, ma questa conoscenza esatta del valore del campo e del suo tasso di variazione va contro il principio di indeterminazione che ci dice che ci deve essere un minimo di incertezza nella conoscenza di un campo e del suo tasso di variazione. Ci devono quindi essere delle fluttuazioni nel valore del campo che si possono pensare come particelle che compaiono da qualche parte si allontano e poi si ritrovano e si annullano a vicenda.
Per la nostra ricerca sembrava importante segnalare come l'indeterminazione comporti la non esistenza del vuoto.

La Teoria della Relatività di Einstein governa l'universo su larga scala. E' una teoria fisica classica nel senso che non prende in considerazione il Principio di Indeterminazione di Heisenberg.
La Teoria Quantistica governa l'universo su piccola scala.
Nel prossimo paragrafo parliamo in maggior dettaglio di queste due teorie e della difficoltà a creare una teoria unica che riesca a metterle insieme.

segue ...

mercoledì 4 marzo 2015

Gödel: Secondo Teorema di Incompletezza.

Gödel: Secondo Teorema di Incompletezza.

In questo paragrafo facciamo ancora alcune osservazioni sul Primo Teorema di Incompltezza di Gödel e tra queste enunciamo il Secondo Teorema di Incompletezza di Gödel.

Non possiamo qui accennare alla dimostrazione del Primo Teorema di Gödel perché è veramente troppo tecnica ed avanzata ma l'essenza della dimostrazione risiede nel fatto che Gödel grazie ad una costruzione molto sofisticata riesce a far parlare l'aritmetica di se stessa, riesce cioè a costruire degli enunciati aritmetici che possono essere interpretati come affermazioni sulla dimostrabilità di altri enunciati aritmetici.
In particolare Gödel mostra che in qualunque teoria matematica in grado di contenere al suo interno l'aritmetica si può costruire un enunciato aritmetico che se interpretato può essere così tradotto:

  • Questo è un enunciato non dimostrabile.

Difronte ad un tale enunciato abbiamo due possibilità:
  1. L'enunicato è falso: ed allora è un enunciato dimostrabile ma un enunciato falso non può essere dimostrabile, quindi si giunge a una contraddizione.
  2. L'enunciato è vero: ed allora è vero che non è dimostrabile. Questa possibilità ha perfettamente senso: l'enunciato è vero ma non è dimostrabile.
Per cui verità e dimostrabilità non coincidono.

Possiamo interpretare la dimostrazione del Primo Teorema di Gödel come un raffinamento del paradosso del mentitore. Il paradosso del mentitore è dato dalla frase “Io sto mentendo”: se è vero che mento allora la frase è vera ma allora quello che dico deve essere una bugia per cui non deve essere vero che sto mentendo ... ecc.
Il paradosso del mentitore è un paradosso senza soluzione, è una frase mal costruita che porta a contraddizioni.
L'enunciato invece “Io sono un enunciato non dimostrabile” non porta a contraddizioni ed ha come soluzione il pensare che debba essere vero ma non dimostrabile.
Ribadiamo che la dimostrazione di Gödel è drasticamente più tecnica e raffinata e fa solo uso dell'aritmetica e non di metaragionamenti che esulano dalla matematica. Si tratta di una vera e propria dimostrazione data all'interno della stessa teoria matematica di cui sta ragionando.

Veniamo allora al Secondo Teorema di Incompletezza di Gödel.
Abbiamo visto che il Primo Teorema ci dice che vi sono enunciati non dimostrabili. Bene, il Secondo Teorema peggiora ancor più la situazione perché dà un esempio molto significativo di enunciato non dimostrabile. Gödel riesce a dimostrare (sempre in via strettamente formale) che:

  • La consistenza degli assiomi di una teoria matematica non può essere dimostrata dalla teoria stessa.

In altre parole quando si usa una teoria matematica non si può mai sapere se la teoria stessa è non contraddittoria. Se un giorno avviene che si perviene a una contraddizione allora ovviamente abbiamo scoperto di avere a che fare con una teoria non consistente ma se, viceversa, non si sono ottenute contraddizioni per il momento, nulla può garantirci la consistenza della teoria: le contraddizioni potrebbero arrivare più avanti.
Questa è la verità della situazione: la matematica poggia tutta su un insieme di dieci assiomi ma non potremo mai dimostrare che questi assiomi non portano a contraddizioni. Possiamo solo sperare in bene. L'affermazione “Questi assiomi non sono contradditori” è un esempio di enunciato non dimostrabile all'interno della teoria matematica stessa. E, ripeto, l'enunciato “la non cotraddizione degli assiomi non è dimostrabile” è un teorema nella teoria stessa.

Chiedo in certo senso scusa a chi legge perché abbiamo dovuto affrontare delle pagine più tecniche e difficili. Ma i risultati di Gödel hanno una rilevanza importante quando si parla di fondare la matematica e non potevano essere saltati.

Torniamo allora ad interpretare il senso umano di ciò che la matematica ci offre.
Facciamoci coraggio e proviamo a dire che forse quello che abbiamo visto qui ci racconta qualcosa sulla razionalità. Abbiamo visto che la razionalità non può poggiare su stessa ed ha bisogno di basi (corrispondenti in matematica agli assiomi), adesso, trasportando i risultati di Gödel, possiamo forse spingerci a dire che anche dotando la razionalità di buone basi, essa non riesce a raggiungere la verità delle cose, non tutta. Forse perché non riesce a parlare di se stessa, perché non riesce a dire da dove nasce, o forse perché se parla di stessa dice bugie (come le teorie matematiche che tentano di dimostrare la propria consistenza).
Torneremo sull'origine della razionalità.


domenica 1 marzo 2015

Gödel: Primo Teorema di Incompletezza.



Nel 1931 Kurt Gödel dimostrò formalmente che il progetto di Hilbert, nella forma in cui Hilbert lo aveva immaginato, era del tutto impraticabile.

Consideriamo un enunciato matematico, per esempio "2+2=4" oppure "i numeri primi sono infiniti" oppure "i numeri primi gemelli sono infiniti" (Nota 1: ricordiamo che due numeri primi si dicono gemelli se, oltre ad essere primi, sono numeri dispari consecutivi: per esempio 3 e 5 oppure 11 e 13 oppure 41 e 43).
Un enunciato matematico è vero se ... è vero, ossia se afferma qualcosa che nel mondo degli oggetti matematici vale. Per esempio: "2+2 = 4" è vero perché lo si vede contando, "i numeri primi sono infiniti" è un enunciato vero perché si riesce a dare una dimostrazione del fatto che vi sono infiniti numeri primi, "i numeri primi gemelli sono infiniti" è un enunciato che a tutt'oggi non si sa se è vero oppure falso, comunque è chiaro che deve essere vero o falso perché i numeri primi gemelli devono essere infiniti oppure finiti, non vi sono altre possibilità.

Abbiamo visto che la matematica parte da alcuni assiomi, ossia enunciati che si prendono per veri come punto di partenza, e, usando precise regole di inferenza, dimostra la verità di altri enunciati.
Una teoria matematica è definita dall'insieme di assiomi su cui poggia e dalle regole di inferenza che usa.

Ricordiamo che una teoria matematica si dice completa se in essa sono dimostrabili tutti gli enunciati che sono veri e che una teoria matematica si dice consistente se da essa non si possono dedurre contraddizioni.

Gödel, nel suo Primo Teorema di Incompletezza, dimostrò quanto segue (semplifichiamo qui l'enunciato del teorema per non entrare in difficili tecnicismi) per qualunque teoria matematica in grado di contenere al suo interno l'aritmetica di base:
  • Una teoria matematica non può essere allo stesso tempo completa e consistente.
    In particolare in qualunque teoria matematica consistente esisteranno enunciati aritmetici veri che non saranno dimostrabili all'interno della teoria stessa.
Detto in altre parole: non vi è modo di scegliere gli assiomi della matematica in modo che poggiando su essi si possano dimostrare tutte le cose che sono vere in matematica. Verità e dimostrabilità di un enunciato non coincidono, in qualunque teoria esisteranno enunciati che sono veri di fatto ma che non possono essere dimostrati. 
Si potrebbe pensare che se una teoria non riesce a dimostrare tutti gli enunciati veri allora la si può arricchire aggiungendo degli assiomi per renderla più potente e sperare così di ottenere una teoria completa. Gödel ci dice che per quanto ci si sforzi di arricchire una teoria non arriveremo mai ad avere una teoria completa che possa dimostrare tutto ciò che è vero.
L'unico modo di avere una teoria che dimostra tutto è quello di avere una teoria inconsistente nel senso che dimostra anche le falsità ed in tal caso, ovviamente, abbiamo una teoria inutile.

Vale la pena di sottolineare di nuovo il fatto che il risultato di Gödel è esso stesso un teorema, cioè un enunciato dimostrato vero. Non si tratta cioè di un pensiero metamatematico o di una riflessione filosofica, ma di un fatto incontrovertibile formalmente dimostrato: "non esiste una teoria matematica in cui verità e dimostrabilità coincidono".

Il primo Teorema di Incompletezza di Gödel dà una secca risposta al primo punto del programma di Hilbert.

...

Per oggi abbiamo detto anche troppo ...
Continuo nei prossimi post con Gödel, paradossi, Heisenberg, teorie del tutto, Hawking.