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Scuola: Cabri - Disegni - Sketchup

martedì 7 aprile 2015

Io, noi due, noi, infiniti.

Io, noi due, noi, infiniti.

Concedetemi un paragrafo più di ricerca degli altri. Un paragrafo in cui potrei non essere del tutto preciso, in cui potrei fare degli sbagli. Credo valga la pena di tentare perché la posta è provare a capire meglio alcune dinamiche importanti.

Ci sono strane assonanze tra la teoria degli insiemi e certi aspetti degli esseri umani.
I primi cinque assiomi della teoria si occupano: della definizione insiemistica di identità, del primo ente esistente (l'insieme vuoto), dell'esistenza delle coppie, della costruibilità delle unioni ed infine dell'esistenza di un insieme infinito.
Mi verrebbe da dare a questi cinque assiomi i seguenti nomi: identità, bambino, bambino e mamma, socialità, immaginazione. Perché in essi vi è un crescere della cardinalità degli insiemi di cui si occupano: identità, io, noi due, noi, infiniti.
Ma ovviamente salta all'occhio il fatto che in questa corrispondenza il bambino sarebbe associato all'insieme vuoto e questo non è molto bello. Ed allora, come sempre, penso se non sto sbagliando tutto, se non siano solo strane assonanze quelle che vado trovando. Poi qualcosa mi spinge a provare ad insistere, riconosco alcuni nessi.

Il bambino ha bisogno di creare un primo forte legame con la mamma prima di aprirsi al mondo ed alla socialità.
Gli insiemi hanno bisogno dell'assioma della coppia per poter poi arrivare a costruire insiemi con molti elementi, non basta l'assioma dell'unione. (vedi nota tecnica oltre)

Gli insiemi rappresentano la coppia come due elementi chiusi in uno stesso sacchetto.
Gli insiemi, ovviamente, non riescono e non possono rappresentare in maniera soddisfacente la coppia bambino-mamma ma sembra che la matematica voglia di questa coppia tenere l'essenza per costruire un mondo astratto il cui scopo è studiare le relazioni tra gli oggetti.
Tuttavia gli insiemi nel rappresentare la coppia come due elementi chiusi in un sacchetto perdono qualcosa della verità di una coppia: perdono la relazione, la direzione, la differenza dei ruoli degli elementi. La teoria degli insiemi si ritrova poi a dover rappresentare artificiosamente le relazioni perché altrimenti non può studiare nulla.

Io, noi due, noi, infiniti. Il prossimo assioma parla di infinito e ci porta diritto al cuore della questione. Dove nasce la capacità di contare? Come avviene che gli esseri umani possono contare a oltranza? La capacità di contare è veramente alla base della matematica?

Ho ancora tante cose da raccontarvi.


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Nota tecnica:
Abbiamo detto che è interessante notare che nella teoria assiomatica degli insiemi si verifica ciò che si verifica negli esseri umani.
Il neonato ha bisogno di stabilire un rapporto forte con la mamma per poi piano piano aprirsi al mondo ed alle altre relazioni.
Curiosamente anche la strutturazione degli insiemi ha bisogno di un assioma che garantisca l'esistenza della coppia e poi di un assioma che garantisca l'esistenza dell'unione. Si potrebbe pensare, abbiamo detto, che il primo assioma è ridondante ma risulta invece necessario: senza la possibilità di costruire coppie non vi sarebbero neanche degli insiemi iniziali su cui fare delle unioni. La formazione di insiemi via via più grandi avviene nel seguente modo:

{}
{ {} } = { {} , {} }
{ {}, {{}} }
{ {{}} } = { {{}}, {{}} }
{ {}, {{}}, {{{}}} }
...

Vale la pena sottolineare ancora una volta che queste sequenze, ben formate, di parentesi sono ciò che veramente studia la teoria assiomatica degli insiemi e ciò che veramente esiste in matematica, il resto sono tutte costruzioni, definizioni e nomi dati a strutture di questo genere e con complessità via via crescenti. A partire dai numeri come vedremo meglio tra poco.


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