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Scuola: Cabri - Disegni - Sketchup

mercoledì 1 aprile 2015

Vuoto, l'insieme.

L'insieme vuoto.

Torniamo allora alla nostra analisi degli assiomi della teoria assiomatica degli insiemi.
Eravamo partiti dal tentare di cogliere le immagini nascoste in questi assiomi e quando dico immagini intendo le immagini di valore umano.
Avevamo già discusso quale fosse il senso di una tale operazione ed eravamo arrivati a un pensiero interessante che è il seguente: se la matematica è creazione della mente umana, come pensiamo, allora ha senso pensare che essa porti con sé tracce del modo di pensare e vedere di chi la matematica l'ha creata, ossia degli uomini e donne che l'hanno creata in un certo modo in certo periodo storico.
Procediamo allora con la nostra analisi degli assiomi della teoria degli insiemi. Avevamo già visto come il primo assioma dica con precisione che ciò che interessa modellare in questa teoria, e ciò su cui si vuole fondare tutta la matematica, è il concetto di “avere”. Avere, possedere e, simmetricamente, appartenere, essere membro di, sono termini che la teoria degli insiemi prende come “primitivi” ossia non definibili con altri termini più elementari.
Abbiamo già parlato di come questo interesse per il concetto di “possedere” potrebbe essere traduzione di un pensiero sull'essere umano e cioè che esso sia tabula rasa, brocca da riempire.
Il secondo assioma della teoria assiomatica degli insiemi tratta dell'insieme vuoto e dice che l'insieme vuoto esiste:
  1. Assioma dell'insieme vuoto: Esiste un insieme privo di elementi. Useremo {} per indicare questo insieme.

La teoria assiomatica degli insiemi ha bisogno di poter affermare l'esistenza di qualche oggetto per poter effettuare delle costruzioni con cui fare matematica. Questo assioma garantisce l'esistenza dell'insieme vuoto. (Vi è poi un solo altro assioma esistenziale che è quello che garantisce l'esistenza di un insieme infinito).

Cosa ci racconta questo assioma?
Dopo aver trovato “la tabula rasa” nascosta dietro al primo assioma della teoria degli insiemi ci troviamo con il vuoto nel secondo assioma.
La matematica poggia tutta su un insieme vuoto. E le cose stanno davvero così.
L'insieme vuoto è unico (perché due insiemi senza elementi sono identici, per il primo assioma) ed a partire da esso si costruiscono tutte le altre strutture di cui la matematica necessita. Una cascata infinita di concetti e costruzioni che partono tutte da un insieme vuoto. E non posso non pensare alla ragione stessa che può ragionare su tutto ma che non sa dire su cosa poggia e da dove nasce.
E qua viene quasi da chiedersi: possibile che non vi siano altre possibilità? Possibile che non sia venuto in mente altro che poggiare tutto su un insieme vuoto? Possibile che matematicamente questa sia la scelta più efficiente e potente? Possibile che l'idea di poggiare tutto su un insieme vuoto non abbia un senso ed un significato preciso? Potrebbe trattarsi invece del fatto che quando le immagini non coscienti che vagano nella mente dei matematici e nella cultura del tempo sono quelle di “tabula rasa” e “vuoto affettivo” allora si finisce per creare una matematica che di questi concetti ne fa le fondamenta?

L'unico vero ente della teoria assiomatica degli insiemi è il concetto di contenitore rappresentato nella notazione matematica da due parentesi graffe {}.
I numeri per esempio possono essere rappresentati e costruiti mediante una successione di contenitori annidati come matriosche (diamo una rappresentazione semplificata per non appesantire troppo la trattazione):

0 - {} l'insieme vuoto,
1 - {{}} l'insieme che ha come unico elemento l'insieme vuoto,
2 - {{{}}} l'insieme che ha come unico elemento l'insieme che ha come unico elemento l'insieme vuoto,
3 . {{{{}}}} ecc.

Come si vede l'unica cosa che si salva in questa teoria sono le scatole vuote, i contenitori, le matriosche. E ci si chiede allora se il nostro aver precedentemente definito gli insiemi come dei sacchi di patate non sia già una concessione dal momento che in realtà la matematica è fatta di sacchi vuoti, non ci sono neanche le patate.
Fondare tutto sull'insieme vuoto è un fatto curioso, interessane e strano. Il vuoto non esiste. Non esiste in natura (come abbiamo visto nel paragrafo su Heisenberg). Il vuoto è un'astrazione della mente. Fondare tutto sull'insieme vuoto è allo stesso tempo un atto di astrazione e fantasia ma anche il segno forte di una mancanza. Identificheremo inseguito quale sia questa mancanza.

Come sono fatti gli insiemi possibili?
Di cosa tratta davvero la teoria assiomatica degli insiemi?
Tratta di matriosche di matriosche di matriosche ... vuote, ossia contenitori di contenitori di contenitori vuoti ... qualcosa che possiamo rappresentare con questa figura:


Dove ogni cerchietto senza nulla dentro rappresenta l'insieme vuoto.
O che possiamo rappresentare anche con un albero gerarchico:


Dove ogni segmento verso l'altro rappresenta un contenimento in un contenitore più grande.
O che possiamo rappresentare anche con un grafo gerarchico che tenga conto delle uguaglianze tra insiemi secondo quanto asserito dal primo assioma:



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Trovo veramente curioso pensare che la matematica tutta si basa su queste bolle vuote
e continuo a pensare che le immagini di senso umano che emergono dalle idee matematiche
debbano avere un valore, appunto, umano, che non siano mere coincidenze e forzature.
Continuo a pensare che cercare di cogliere un pensiero dietro alle idee matematiche
possa portarci a fare delle scoperte ...

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