Non mi riferisco alla matematica. Ma alla possibilità di pensare al senso delle cose.
Pensare a quello che stiamo facendo ed a come lo stiamo facendo è la cosa più importante. Gli esseri umani, a differenza degli animali, sono fatti per pensare. Pensare richiede eneregie ma fa crescere, rende capaci, rende autonomi e soprattutto fa tirare fuori a ciascuno la sua identità.
guzman.
______
Con le figure impossibili continuo domani.
Su richiesta di Lorenzo, ho aggiunto il suo biplano ai vostri veicoli dentro Google Earth (anche in questo caso potete usare le frecce ed anche Q e A per il volo).
Per chi volesse richiedere l'aggiunta di altri modelli da guidare, basta chiedere (se uno vuole si può anche guidare un tavolino, un cavallo, ... quello che volete, basta che sia un vostro disegno).
Vorrei adesso invece mettere una serie di figure impossibili.
Come la seguente:
Riuscite a capire qual'è il trucco ?
C'è un piccolo indizio che dice qualcosa, lo vedete ?
Se volete scoprire come funziona potete scaricare il modello.
Prendete un pezzo di ghiaccio e lavoratelo fino a fargli avere la seguente forma:Fatto ? Prendete i vostri genitori e costringeteli a calcolare il volume di questo solido, minacciateli di non studiare più matematica se loro non sono disposti a provare a risolvere questo esercizio. Fatto ? :) Lasciateli provare per due ore. Fatto ? Dite loro che era semplicissimo e che siete disposti a dare la soluzione solo in cambio di ... beh, non so, fate voi ... Fatto ? "Impossibile riuscirci" diranno loro .... No, si tratta semplicemente di mezzo cubo. Unite due parti uguali ed ottenete un cubo ... la superficie di contatto è un esagono regolare.
Di questo ed altre cose abbiamo parlato oggi in biblioteca usando la lavagna interattiva ed con la speciale partecipazione della Preside.
ciao.
Quesito Che lettera viene dopo ? q s v c h ...
(non si considerano j,k,w,x,y).
ciao, guzman.
Aggiornamento Ilaria ha risolto il quesito. Le prossime lettere erano p e poi z ... La seguente figura dovrebbe dirvi perché:
Complimenti per i disegni di ieri. In particolare la Caffettiera (di Ginevra) e la Teiera (di Elisa) sono fantastiche. ____
Procuratevi 30 giraffe. Fatto ? Convincitene la metà ad avvicinare il muso all'orecchio di un'altra. Fatto ? Convincite le altre a fare la stessa cosa ma a testa in giù. Fatto ? Non scordatevi di seguire una simmetria dodecaedrica nel disporre le giraffe. Fatto ?
Bene. Avete appena costruito il vostro dodecaedro esploso sorretto da giraffe, fatto in casa. Impossibile riuscirci ? Sicuramente. Ma non con i pezzi in legno oppure con Sketchup. Questa volta l'idea è mia, ma mi sono ovviamente ispirato a George Hart.
Quesito Che lettera viene dopo ? q s v c h ...
(non si considerano j,k,w,x,y).
ciao, guzman.
[Giovedì pomeriggio siamo a scuola per il corso di matematica avanzata. Parleremo ancora del triangolo di Tartaglia che viene fuori in tutte le salse ad ogni piè sospinto. Ma introdurremo anche qualche argomento algebrico nuovo ... ]
Prendete i ragazzi di una classe di terza media (se la classe si chiama 3D suona ancora meglio). Fatto ? Dite loro che esiste Sketchup. Fatto ? Spiegategli come funziona "spingi/tira", "seguimi" e magari anche "scala". Fatto ? Ditegli che con "seguimi" si possono fare anche solidi di rotazione. Fatto ? Metteteli al computer per modellare oggetti 3D. Fatto ?
Bene. Avete appena creato la vostra classe di incredibili modellatori 3D fatti in casa, ... o meglio, a scuola.
Chi volesse fare la scacchiera completa può usare queste silouhette: Il cavallo conviene farlo con il metodo della figura seguente; in poche parole: - fate un disegno piatto (copiandolo da qualche immagine semplice), - gli date un po' di spessore - e poi gli fate una piccola base circolare.
Vi ricordo che potete aggiustare le dimensioni con il comando scala (strumenti->scala).
Prendete un pallone da calcio. Facile. Fatto ? Disegnate sul pallone una formina che congiunga due delle toppe nere pentagonali. Fatto ?Create uno stampo per ottenere tante copie piatte in plexiglass della formina che avete disegnato. Fatto ? Disponete 30 di queste formine secondo lo schema del pallone. Fatto ? Saldate le varie parti con abbondante colla vinilica. Fatto ?
Bene. Avete appena costruito il vostro icosaedro troncato intrecciato fatto in casa:Impossibile riuscirci ? Non so. George Hart è l'autore di questa ed altre fantastiche idee. I 30 pezzi potrebbero essere venduti come rompicapo da montare. E sto vedendo se riesco a farmeli fare in acciaio veramente per costruirne uno. Nel frattempo, anche questo, l'ho fatto con sketchup:
la figura qua sopra è stata creata con Sketchup e poi è stata riprocessata con un programma per il calcolo delle luci e dei materiali
Quesito: Quali sono i prossimi numeri ? 18, 9, 28, 14, 7, 22, 11, 34, 17, 52, 26, 13, 40, 20, 10, 5, ... Questa volta è più impegnativo, ma fattibile.
ciao, guzman. [questo è il post numero 250 del blog]
Prendete 72 matite a sezione esagonale. Fatto ? Cospargetele di colla. Fatto ? Mettetene 18 in piedi in modo da formare un recinto esagonale. Fatto ? Scaraventate le altre 54 in mezzo in maniera simmetrica. Fatto ?Bene, avete appena creato il vostro dodecaedro rombico fatto in casa delimitato da matite.
Impossibile riuscirci? Non so. George Hart è l'autore di questa ed altre fantastiche idee. Non aspettatevi che domani porti a scuola la costruzione di matite come ho fatto oggi con il triacontaedro rombico del post di ieri, anche se non vedo l'ora di avere 72 matite a sezione esagonale per poter provare ...
Nel frattempo (e l'avevo già messo nel blog) l'ho fatto con sketchup:Quesito Che numero viene dopo? 2,3,5,9,17,33, ...
ciao guzman.
Aggiornamento Dario ha risolto il quesito. Questa volta non era difficile. E allora ne aggiungo un altro. Quali sono i numeri successivi?
Prendete 5 cubi. Fatto ? Fateli esplodere. Fatto ? Prendete i cinque cubi esplosi e fateli compenetrare tra di loro. Fatto ? Bene. Avete appena creato il vostro triacontaedro rombico fatto in casa.Impossibile riuscirci? No. Si può fare. E' sufficiente ritagliare le formine giuste ed incastrarle fra loro. Servono 30 quadratini con dei taglietti (triacontaedro significa poliedro con 30 facce):
Un triacontaedro rombico già montato sarà in palio con 3 punti al Rally.
Il triacontaedro rombico è il solido usato anche per i dadi con 30 facce ed è usato anche per un modello di lampade molto belle:
ciao, guzman.
Soluzione al quesito Era rimasto aperto il seguente quesito: Qual'è il prossimo numero? 5, 6, 9, 14, 21, 30, ...
Non so se vi è sembrato difficile, o semplicemente vi era venuto a noia ... La soluzione non è complessa: la differenza tra primi due numeri è 1, tra secondo e terzo è 3, poi 5, poi 7, poi 9 ... Quindi il numero successivo si ottiene sommando 11, 30+11 = 41.
ciao, guzman.
Aggiornamento Dario con il suo bottino di punti si porta via il triacontaedro rombico. Ne metterò comunque in palio un altro per chi fosse interessato.
La matematica, contrariamente a quanto si crede, è una materia sociale nel senso che viene meglio se si fa insieme ad altri. I matematici lo sanno bene ed infatti la maggior parte delle pubblicazioni e dei nuovi teoremi vengono fatti lavorando insieme.
Io trovo che anche in classe la matematica si impara meglio se si fa insieme.
Mi piace il fatto che lo stiamo facendo. Mi piace il fatto che le ore di scuola le usiamo per capire insieme.
Ciao, guzman.
[Per chi volesse è rimasto un quesito da ieri: Qual'è il prossimo numero? 5, 6, 9, 14, 21, 30, ...]
[Lorenzo invece ha risolto il secondo quesito di ieri: si trattava, contrariamete a quanto poteva sembrare, del numero di lettere di ogni parola: sei (3 lettere), otto (4 lettere), dieci (5 lettere), dodici (6 lettere) ...]
Ancora una volta ripeto: è andata bene fino a qui. Abbiamo lavorato bene. Solo gennaio è stato difficile. Eravate un po' persi ed un po' tesi per gli impegni e l'arrivo degli scrutini.
Adesso possiamo ripartire più tranquilli e con voglia.
Nel conteggio delle settimane siamo a 14+4 (14 prima delle vacanze e 4 dopo).
Ciao, guzman.
Parlando di percorsi, chi volesse può rivedere la mappa del giro che abbiamo fatto ieri.
Aggiornamento Marco ha suggerito un nuovo filone di quesiti che in effetti sono molto divertenti. Si tratta dei quesiti in cui bisogna trovare il prossimo ... Per esempio. Trova il prossimo numero: 3 3 6 9 15 24 ...
Tutti conoscono il cubo di Rubik. E' un bel gioco. Impegnativo da risolvere.
Se la difficoltà del cubo di Rubik 3x3x3 non vi basta esistono decine e decine di varianti. Tra le varie varianti: il tetraedro (molto più facile), l'ottaedro ed anche il dodecaedro (un po' più difficili) e l'icosaedro.
Poi c'è anche il cubo 4x4x4, 5x5x5, ecc. Ed esistono campionati mondiali per chi risolve il cubo più velocemente, oppure a occhi chiusi, con una mano sola, ....
Insomma, è un gioco interessante ed elegante. Se vi capita, provatelo (con 3euro potete compare un cubo in molti negozi). Soluzione Quesito Immaginiamo di avere due dadi (uno rosso ed uno blu) con tre numeri ciascuno. Dobbiamo sorteggiare un numero a caso da 1 a 9. Come fare ? La soluzione è molto facile e si può raccontare in vari modi.
Tirando i 2 dadi ci sono 9 esiti possibili. E' sufficiente associare ad ogni esito un numero da 1 a 9 (il primo numero è il dado blu, il secondo è il dado rosso): 1, 1 -> 1 1, 2 -> 2 1, 3 -> 3
2, 1 -> 4 2, 2 -> 5 2, 3 -> 6
3, 1 -> 7 3, 2 -> 8 3, 3 -> 9
Se scritta così la soluzione non vi piace allora possiamo immaginare che il dado1 abbia i numeri 0,3,6 ed il dado2 abbia i numeri 1,2,3. In questo caso è sufficiente fare
dado1 + dado2
e si ottiene la soluzione.
Se la soluzione scritta così non vi piace allora possiamo immaginare che il dado1 abbia i numeri 0,1,2 ed il dado2 abbia i numeri 1,2,3. In questo caso è sufficiente moltiplicare il dado1 per 3 e sommare il dado2
dado1*3 + dado2
e si ottiene la soluzione.
Se infine non vi piace neanche così, allora prendiamo i due dadi con i numeri 1,2,3 e la soluzione si ottiene scalando i numeri del dado1 di una unità:
(dado1 - 1)*3 + dado2
che corrisponde esattamente alla tabella iniziale.
Non era troppo difficile no? la soluzione con la tabella in particolare si poteva intuire: ___
Riassumendo Con i solidi regolari si fanno i dadi: 4,6,8,12,20. Scrivendo più volte gli stessi numeri si possono fare anche i sottomultipli. Per esempio: scrivendo: 1,1,2,2,3,3, sulle facce di un cubo si ottiene un dado equo con 3 numeri. Allo stesso modo si possono ottenere i dadi con 5 e 10 numeri come sottomultipli del 20. Infine abbiamo visto come si possa sorteggiare un numero a caso da 1 a 9.
Quesito Sapreste sorteggiare un numero a caso tra 1 a 15 usando un dado con 5 numeri ed un dado con 3 numeri ? Sui due dadi potete scrivere i numeri che vi fanno più comodo.
E' arrivato Febbraio. Gennaio è stato un mese un po' caotico ed agitato. Credo che adesso siamo usciti dal periodo difficile e potremo tornare a un periodo di calma.
Compito. Sono soddisfatto. Effettivamente era troppo lungo. Lo terrò in considerazione. Non ho ancora corretto tutti i compiti, comunque: Potenze con esponente negativo e letterale: Bene. Calcolo letterale: Bene. Equazioni: Molto Bene. Geometria: Ho spinto un po' troppo. Ripasseremo per bene i concetti. Comunque piuttosto bene ed abbiamo tutto il tempo di affinare il meccanismo. In particolare dobbiamo vedere per bene come si calcola l'area totale di un solido.
Quesito Ripropongo ancora il quesito sui dadi ma, questa volta, in maniera semplificata. Supponiamo di avere 2 dadi (uno rosso ed uno blu) ciascuno con 3 numeri (nel senso che ogni dado, se lanciato, fa uscire un numero a caso tra 1,2 e 3). La domanda è: come fareste a sorteggiare un numero a caso da 1 a 9 ?
Nel post di ieri trovate anche un video di un giocoliere di altri tempi molto famoso.
E' un periodo impegnativo: verifiche e scrutini. Tutto tace in attesa del passaggio di questi eventi. Ripartiremo con calma tra poco.
In attesa di nuovi argomenti riguardanti sketchup, la scuola o altri argomenti vari, do la soluzione al quesito della "Piramide 4D".
La parte matematica di questo post è molto tecnica. Tornerò su argomenti più leggeri prossimamente. Tuttavia, se siete interessati, potete capire i singoli passi.
Piramide 4D (o simplesso 4D)
In zero dimensioni abbiamo un solo punto (o vertice).
In una dimensione (cioè su una retta) possiamo aggiungere un vertice e collegarlo a quello precedente. Quindi ora abbiamo due vertici ed un segmento (o spigolo, per cosi dire).
In due dimensioni (cioè nel piano) possiamo aggiungere un altro vertice e collegarlo ai due vertici precedenti. In questo modo otteniamo un triangolo. I vertici diventanto 3, i segmenti (o spigoli) diventano 3 (1 di prima più 2 nuovi) e si crea 1 faccia.
In tre dimensioni (cioè nel comune spazio) possiamo aggiungere un altro vertice e collegarlo con i tre vertici precedenti per ottenere un tetraedro. In questo modo i vertici diventano 4, i segmenti (o spigoli) diventano 6 (3 di prima più 3 nuovi), le faccie diventano 4 (1 di prima più 3 nuove) e compare 1 solido (il tetraedro stesso).
Finalmente in quattro dimensioni (non vi preoccupate di cosa significa) possiamo aggiungere un vertice ancora e collegarlo a tutti vertici del tetraedro per ottenere una piramide 4d (o simplesso 4D come si chiama tecnicamente). [In figura è data una rappresentazione di questo oggetto che in verità vive in uno spazio a 4 dimensioni]
In questo modo abbiamo: 5 vertici (4 di prima, più 1 nuovo) 10 spigoli (6 di prima, più i 4 spigoli che vanno dal nuovo vertice verso i vecchi vertici) 10 facce (4 di prima, più le facce che si creano su ognuno dei 6 spigoli di prima i cui estremi sono collegati al nuovo vertice) 5 solidi (1 solido di prima, il tetraedro, più i 4 nuovi tetraedri che si creano sulle 4 facce di prima i cui vertici vengono collegati al nuovo vertice) 1 solido 4D (la piramide 4D stessa).
Ok, lo so, non era facile. Ne parleremo probabilmente al corso di matematica avanzata pomeridiano e tutto vi sembrerà più facile. Non solo, scoprirete strani nessi con il calcolo letterale e con (a+b)2, (a+b)3, (a+b)4 ...
Quesiti Vi ripropongo il quesito sui dadi ma, questa volta, in maniera semplificata. Supponiamo di avere 2 dadi (uno rosso ed uno blu) ciascuno con 3 numeri (nel senso che ogni dado, se lanciato, fa uscire un numero a caso tra 1,2 e 3). La domanda è: come fareste a sorteggiare un numero a caso da 1 a 9 ?
Siete perfettamente in grado di risolverlo, è molto facile.
Torniamo a pensare.
