Il Senso della Matematica

Pensieri.

Perché la matematica risulta molto facile ad alcuni e molto difficile ad altri?
La risposta più convincente che riesco a trovare è che ciò di cui non si vede il senso diventa difficile anche se non lo è.
Allora la domanda diventa: la matematica ha un senso?
E se ce l'ha, la scuola riesce a trasmetterlo?
Io sono convinto che la matematica ha un senso profondo
ma che purtroppo la scuola non riesce a trasmetterlo per motivi storici e culturali.

A scuola la matematica che si studia comunemente
si divide fondamentalmente in due categorie:
regole per risolvere esercizi,
esempi di applicazioni pratiche.

Nessuna di queste due categorie coglie o sfiora il senso profondo della matematica.
Il senso della matematica non è certamente imparare regole per risolvere gli esercizi che stanno sui libri.
E su questo siamo tutti d'accordo.

Ma, il senso della matematica non sta neanche nell'avere usi pratici.
Il fatto che la matematica abbia degli usi pratici è un mero effetto collaterale
che ha poco a che vedere con il suo significato più profondo.

Il significato ultimo della matematica è allenare la mente a cogliere analogie, schemi, regole in qualunque tipo di oggetti.
Saper cogliere queste analogie, regole e schemi è una capacità fondamentale ed è una capacità tipicamente umana.
Saper cogliere queste analogie, regole e schemi porta a cercare e trovare soluzioni intelligenti in qualunque lavoro si faccia.

Da questo punto di vista è molto più importante allenarsi a trovare gli schemi dietro oggetti astratti piusttosto che allenarsi a trovare quanta vernice serve per pitturare una parete.
Saper trovare schemi è una capacità che resterà per tutta la vita.
Calcolare la quantità di vernice utile a verniciare una parete è un semplice esercizio banale che non apporta arricchimento personale.

Il problema sorge se nella mente dello studente non è chiaro qual'è lo scopo finale della matematica. E la scuola fa spesso di tutto per renderglielo oscuro.

Quando invece lo scopo diventa via via più chiaro allo studente, allora anche ciò che sembrava difficile diventa ovvio e la mente comincia a chiedere di andare oltre perchè riconosce che è un cammino percorribile, sano e utile.

guzman.

[figura]

Immagini impossibili 3

Gli altri post si chiamavano "Figure impossbili ..."
Questo si chiama "Immagini impossibili ..."

Il fatto è che voglio parlare di immagini e non solo di figure,
e non è la stessa cosa.

Una figura è in definitiva un disegno piatto ... oppure la foto di un oggetto o di una persona nel momento in cui si considerano solo le forme e non altri aspetti dell'oggetto o della persona.
Per dirla breve: nella figura contano solo le forme.

Un'immagine è molto di più. Quando si guarda un'immagine contano tutti gli aspetti dell'oggetto o della persona nell'immagine.
Dell'immagine di una persona posso per esempio dire che da l'idea di avere l'aria tranquilla oppure aggressiva. Se guardo solo alla figura questi aspetti non contano.

Bene. Questo blog tenta di costruire un'immagine impossibile.
L'immagine impossibile di una possibilità diversa per la scuola.
Non sempre ci riusciamo ed è una ricerca molto difficile: ma senza questa ricerca perderemmo qualcosa di importante.

Questa è la mia opinione.

guzman.
______

Scusate il post un po' difficile, concettuoso, da adulti forse.
Tornando invece alle figure impossibili (numero 3), eccone un'altra (scarica modello).

ciao.

[E' in arrivo un video interessante ma ho avuto dei problemi con YouTube che per qualche motivo rovina il video quando lo carico]

Torniamo a pensare

Torniamo a pensare.

Non mi riferisco alla matematica.
Ma alla possibilità di pensare al senso delle cose.

Pensare a quello che stiamo facendo ed a come lo stiamo facendo è la cosa più importante.
Gli esseri umani, a differenza degli animali, sono fatti per pensare.
Pensare richiede eneregie ma fa crescere, rende capaci, rende autonomi
e soprattutto fa tirare fuori a ciascuno la sua identità.

guzman.

______

Con le figure impossibili continuo domani.

Su richiesta di Lorenzo, ho aggiunto il suo biplano ai vostri veicoli dentro Google Earth
(anche in questo caso potete usare le frecce ed anche Q e A per il volo).

Per chi volesse richiedere l'aggiunta di altri modelli da guidare, basta chiedere
(se uno vuole si può anche guidare un tavolino, un cavallo, ... quello che volete, basta che sia un vostro disegno).

ciao.

Figure Impossibili 2

Tempo fa abbiamo parlato a scuola del nastro di Moebius.
Adesso stiamo paralando di figure impossibili.

Si può creare un nastro di Moebius impossibile:Volete capire come è stato fatto ? Scaricate il modello.

La figura di ieri invece era stata realizzata con il seguente trucco:



chi volesse mandare o segnalare altre figure impossibili è sempre il benvenuto.

ciao,
guzman.

Figure Impossibili 1

La settimana scorsa è stata la settimana dei 3D Attacks:

7 - Cubo Ninja
6 - Taglio del cubo con sezione esagonale
5 - Dodecaedro di Giraffe
4 - Solidi di Rotazione: Caffettiere ...
3 - Disegno sul pallone
2 - Dodecaedro Rombico di Matite
1 - Triancontaedro Rombico di Quadratini

Vorrei adesso invece mettere una serie di figure impossibili.
Come la seguente:

Riuscite a capire qual'è il trucco ?
C'è un piccolo indizio che dice qualcosa, lo vedete ?
Se volete scoprire come funziona potete scaricare il modello.

ciao,
guzman.

3D Attack (numero 7)

Prendete un po' di stelle ninja a tre braccia. Fatto ?
Disponetele in modo che le punte delle stelle stiano tutte sui vertici di un cubo. Fatto ?

Bene. Avete appena creato il vostro "cubo ninja".Questa è una delle costruzioni più semplici fra le tante ideate da George Hart.

Quesito
Quante stelle ninja si usano per fare la costruzione ?

ciao,
guzman.

3D Attack (numero 6)

Prendete un pezzo di ghiaccio e lavoratelo fino a fargli avere la seguente forma:Fatto ?
Prendete i vostri genitori e costringeteli a calcolare il volume di questo solido,
minacciateli di non studiare più matematica se loro non sono disposti a provare a risolvere questo esercizio. Fatto ? :)
Lasciateli provare per due ore. Fatto ?
Dite loro che era semplicissimo e che siete disposti a dare la soluzione solo in cambio di ... beh, non so, fate voi ... Fatto ?
"Impossibile riuscirci" diranno loro ....
No, si tratta semplicemente di mezzo cubo.
Unite due parti uguali ed ottenete un cubo ... la superficie di contatto è un esagono regolare.

Di questo ed altre cose abbiamo parlato oggi in biblioteca usando la lavagna interattiva ed con la speciale partecipazione della Preside.

ciao.

Quesito
Che lettera viene dopo ?
q s v c h ...

(non si considerano j,k,w,x,y).

ciao,
guzman.

Aggiornamento
Ilaria ha risolto il quesito.
Le prossime lettere erano p e poi z ...
La seguente figura dovrebbe dirvi perché:

3D Attack (numero 5)

Complimenti per i disegni di ieri.
In particolare la Caffettiera (di Ginevra) e la Teiera (di Elisa) sono fantastiche.
____

Procuratevi 30 giraffe. Fatto ?
Convincitene la metà ad avvicinare il muso all'orecchio di un'altra. Fatto ?
Convincite le altre a fare la stessa cosa ma a testa in giù. Fatto ?
Non scordatevi di seguire una simmetria dodecaedrica nel disporre le giraffe. Fatto ?

Bene. Avete appena costruito il vostro dodecaedro esploso sorretto da giraffe, fatto in casa.
Impossibile riuscirci ?
Sicuramente. Ma non con i pezzi in legno oppure con Sketchup.
Questa volta l'idea è mia, ma mi sono ovviamente ispirato a George Hart.

Quesito
Che lettera viene dopo ?
q s v c h ...

(non si considerano j,k,w,x,y).

ciao,
guzman.

[Giovedì pomeriggio siamo a scuola per il corso di matematica avanzata.
Parleremo ancora del triangolo di Tartaglia che viene fuori in tutte le salse ad ogni piè sospinto. Ma introdurremo anche qualche argomento algebrico nuovo ... ]

3D Attack (numero 4)

Prendete i ragazzi di una classe di terza media (se la classe si chiama 3D suona ancora meglio). Fatto ?
Dite loro che esiste Sketchup. Fatto ?
Spiegategli come funziona "spingi/tira", "seguimi" e magari anche "scala". Fatto ?
Ditegli che con "seguimi" si possono fare anche solidi di rotazione. Fatto ?
Metteteli al computer per modellare oggetti 3D. Fatto ?

Bene. Avete appena creato la vostra classe di incredibili modellatori 3D fatti in casa, ... o meglio, a scuola.

Impossibile riuscirci ?
Assolutamente no.

Ecco alcuni dei lavori di oggi.
Tutti gli altri li trovate qua.

Ginevra, Caffettiera. Complimenti.


Elisa, Teiera. Complimenti!


Daniele e Dario. Scacchiera.


Alexander, Pedone Scacchi.


Alexander. Ciambella e Bicchiere.



Cosimo e Marco, Scacchi.


Lucrezia. Bicchiere Cocktail e Ciambella.



Martina. Bicchiere (Gigante).


Enrico. Scacco al Re.

---

Chi volesse fare la scacchiera completa può usare queste silouhette:

Il cavallo conviene farlo con il metodo della figura seguente; in poche parole:
- fate un disegno piatto (copiandolo da qualche immagine semplice),
- gli date un po' di spessore
- e poi gli fate una piccola base circolare.

Vi ricordo che potete aggiustare le dimensioni con il comando scala (strumenti->scala).


ciao,
guzman.

3D Attack (numero 3)

Prendete un pallone da calcio. Facile. Fatto ?
Disegnate sul pallone una formina che congiunga due delle toppe nere pentagonali. Fatto ?Create uno stampo per ottenere tante copie piatte in plexiglass della formina che avete disegnato. Fatto ?
Disponete 30 di queste formine secondo lo schema del pallone. Fatto ?
Saldate le varie parti con abbondante colla vinilica. Fatto ?

Bene. Avete appena costruito il vostro icosaedro troncato intrecciato fatto in casa:Impossibile riuscirci ?
Non so. George Hart è l'autore di questa ed altre fantastiche idee.
I 30 pezzi potrebbero essere venduti come rompicapo da montare. E sto vedendo se riesco a farmeli fare in acciaio veramente per costruirne uno.
Nel frattempo, anche questo, l'ho fatto con sketchup:

la figura qua sopra è stata creata con Sketchup e
poi è stata riprocessata con un programma per il calcolo delle luci e dei materiali

Quesito:
Quali sono i prossimi numeri ?
18, 9, 28, 14, 7, 22, 11, 34, 17, 52, 26, 13, 40, 20, 10, 5, ...
Questa volta è più impegnativo,
ma fattibile.

ciao,
guzman.
[questo è il post numero 250 del blog]

3D Attack (numero 2)

Prendete 72 matite a sezione esagonale. Fatto ?
Cospargetele di colla. Fatto ?
Mettetene 18 in piedi in modo da formare un recinto esagonale. Fatto ?
Scaraventate le altre 54 in mezzo in maniera simmetrica. Fatto ?Bene, avete appena creato il vostro dodecaedro rombico fatto in casa delimitato da matite.

Impossibile riuscirci?
Non so. George Hart è l'autore di questa ed altre fantastiche idee.
Non aspettatevi che domani porti a scuola la costruzione di matite come ho fatto oggi con il triacontaedro rombico del post di ieri, anche se non vedo l'ora di avere 72 matite a sezione esagonale per poter provare ...

Nel frattempo (e l'avevo già messo nel blog) l'ho fatto con sketchup:Quesito
Che numero viene dopo?
2,3,5,9,17,33, ...

ciao
guzman.

Aggiornamento
Dario ha risolto il quesito. Questa volta non era difficile.
E allora ne aggiungo un altro.
Quali sono i numeri successivi?

1,2,5,10,9,18,13,26,17,34, ...

3D Attack

Prendete 5 cubi. Fatto ?
Fateli esplodere. Fatto ?
Prendete i cinque cubi esplosi e fateli compenetrare tra di loro. Fatto ?
Bene. Avete appena creato il vostro triacontaedro rombico fatto in casa.Impossibile riuscirci?
No. Si può fare.
E' sufficiente ritagliare le formine giuste ed incastrarle fra loro.
Servono 30 quadratini con dei taglietti (triacontaedro significa poliedro con 30 facce):

A metà di questa pagina trovate l'immagine pronta per la stampa
(ogni pagina contiene sei quadratini per cui vi serviranno 5 copie).

Un triacontaedro rombico già montato sarà in palio con 3 punti al Rally.

Il triacontaedro rombico è il solido usato anche per i dadi con 30 facce
ed è usato anche per un modello di lampade molto belle:


ciao,
guzman.

Soluzione al quesito
Era rimasto aperto il seguente quesito:
Qual'è il prossimo numero?
5, 6, 9, 14, 21, 30, ...

Non so se vi è sembrato difficile,
o semplicemente vi era venuto a noia ...
La soluzione non è complessa:
la differenza tra primi due numeri è 1,
tra secondo e terzo è 3, poi 5, poi 7, poi 9 ...
Quindi il numero successivo si ottiene sommando 11,
30+11 = 41.

ciao,
guzman.

Aggiornamento
Dario con il suo bottino di punti
si porta via il triacontaedro rombico.
Ne metterò comunque in palio un altro per chi fosse interessato.

ciao.

Fare insieme

Fare a scuola,
fare insieme.

La matematica, contrariamente a quanto si crede,
è una materia sociale nel senso che viene meglio se si fa insieme ad altri.
I matematici lo sanno bene ed infatti la maggior parte delle pubblicazioni e dei nuovi teoremi vengono fatti lavorando insieme.

Io trovo che anche in classe la matematica si impara meglio se si fa insieme.

Mi piace il fatto che lo stiamo facendo.
Mi piace il fatto che le ore di scuola le usiamo per capire insieme.

Ciao,
guzman.

[Per chi volesse è rimasto un quesito da ieri:
Qual'è il prossimo numero?
5, 6, 9, 14, 21, 30, ...]

[Lorenzo invece ha risolto il secondo quesito di ieri:
si trattava, contrariamete a quanto poteva sembrare, del numero di lettere di ogni parola:
sei (3 lettere), otto (4 lettere), dieci (5 lettere), dodici (6 lettere) ...]

Triangolo di Tartaglia ...

Con chi viene il pomeriggio
abbiamo giocato e ragionato sul trinagolo di Tartaglia.

Poi io ho avuto gli scrutini.
_____

Vi lascio un quesito facile:
Qual'è il prossimo numero?

5, 6, 9, 14, 21, 30, ...

______

Ciao,
guzman.

Vi lascio anche un quesito più difficile:
sei -> 3
otto -> 4
dieci -> 5
dodici -> 6
quattordici -> .... ?

Se vi dico che la risposta giusta non è 7, qual'è la risposta giusta ?

ciao,
guzman.

Metà della Meta (occhio agli accenti)

Abbiamo fatto metà del percorso.

Ancora una volta ripeto: è andata bene fino a qui.
Abbiamo lavorato bene.
Solo gennaio è stato difficile.
Eravate un po' persi ed un po' tesi per gli impegni e l'arrivo degli scrutini.

Adesso possiamo ripartire più tranquilli e con voglia.

Nel conteggio delle settimane siamo a 14+4
(14 prima delle vacanze e 4 dopo).

Ciao,
guzman.

Parlando di percorsi, chi volesse può rivedere la mappa del giro che abbiamo fatto ieri.

La mappa del percorso di ieri
(attendete che carichi il percorso ed i segnalini)


Aggiornamento
Marco ha suggerito un nuovo filone di quesiti che in effetti sono molto divertenti.
Si tratta dei quesiti in cui bisogna trovare il prossimo ...
Per esempio.
Trova il prossimo numero:
3 3 6 9 15 24 ...

[la regola non è difficile]

Ciao,
guzman.

Rubik

Questo è un post con informazioni generiche sul cubo di Rubik.
Trovate informazioni più dettagliate
qua:
La pagina del Cubo

oppure qua:
Metodo Base

Fase 1: Croce Bianca

Fase 2: Angoli Bianchi e Notazione Mosse
Fase 3: Secondo Strato
Fase 4: Croce Gialla F RUR'U' F' oppure F URU'R' F'
Fase 5: Allineare Croce Gialla R U R' U R U2 R'
Fase 6: Angoli Gialli RDR'D' (2 volte) oppure DRD'R' (2 volte)
Fase 7: Allineare Angoli Gialli R2 B2 RFR' B2 RF'R

oppure qua:
Metodo intermedio

---

Rubik

Tutti conoscono il cubo di Rubik.
E' un bel gioco. Impegnativo da risolvere.

Se la difficoltà del cubo di Rubik 3x3x3 non vi basta esistono decine e decine di varianti. Tra le varie varianti: il tetraedro (molto più facile), l'ottaedro ed anche il dodecaedro (un po' più difficili) e l'icosaedro.

Poi c'è anche il cubo 4x4x4, 5x5x5, ecc.
Ed esistono campionati mondiali per chi risolve il cubo più velocemente, oppure a occhi chiusi, con una mano sola, ....

Insomma, è un gioco interessante ed elegante.
Se vi capita, provatelo (con 3euro potete compare un cubo in molti negozi).

Soluzione Quesito
Immaginiamo di avere due dadi (uno rosso ed uno blu) con tre numeri ciascuno.
Dobbiamo sorteggiare un numero a caso da 1 a 9. Come fare ?
La soluzione è molto facile e si può raccontare in vari modi.

Tirando i 2 dadi ci sono 9 esiti possibili. E' sufficiente associare ad ogni esito un numero da 1 a 9 (il primo numero è il dado blu, il secondo è il dado rosso):
1, 1 -> 1
1, 2 -> 2
1, 3 -> 3

2, 1 -> 4
2, 2 -> 5
2, 3 -> 6

3, 1 -> 7
3, 2 -> 8
3, 3 -> 9

Se scritta così la soluzione non vi piace allora possiamo immaginare che il dado1 abbia i numeri 0,3,6 ed il dado2 abbia i numeri 1,2,3. In questo caso è sufficiente fare

dado1 + dado2

e si ottiene la soluzione.

Se la soluzione scritta così non vi piace allora possiamo immaginare che il dado1 abbia i numeri 0,1,2 ed il dado2 abbia i numeri 1,2,3. In questo caso è sufficiente moltiplicare il dado1 per 3 e sommare il dado2

dado1*3 + dado2

e si ottiene la soluzione.

Se infine non vi piace neanche così, allora prendiamo i due dadi con i numeri 1,2,3
e la soluzione si ottiene scalando i numeri del dado1 di una unità:

(dado1 - 1)*3 + dado2

che corrisponde esattamente alla tabella iniziale.

Non era troppo difficile no? la soluzione con la tabella in particolare si poteva intuire:
___

Riassumendo
Con i solidi regolari si fanno i dadi: 4,6,8,12,20.
Scrivendo più volte gli stessi numeri si possono fare anche i sottomultipli. Per esempio: scrivendo: 1,1,2,2,3,3, sulle facce di un cubo si ottiene un dado equo con 3 numeri.
Allo stesso modo si possono ottenere i dadi con 5 e 10 numeri come sottomultipli del 20.
Infine abbiamo visto come si possa sorteggiare un numero a caso da 1 a 9.

Quesito
Sapreste sorteggiare un numero a caso tra 1 a 15 usando un dado con 5 numeri ed un dado con 3 numeri ? Sui due dadi potete scrivere i numeri che vi fanno più comodo.

Ciao,
guzman.

Aggiornamento: La mappa del percorso di oggi (attendete che carichi il percorso ed i segnalini) Nel post precedente i commenti sul compito.

Compito

E' arrivato Febbraio.
Gennaio è stato un mese un po' caotico ed agitato.
Credo che adesso siamo usciti dal periodo difficile e potremo tornare a un periodo di calma.

Compito.
Sono soddisfatto.
Effettivamente era troppo lungo. Lo terrò in considerazione.
Non ho ancora corretto tutti i compiti, comunque:
Potenze con esponente negativo e letterale: Bene.
Calcolo letterale: Bene.
Equazioni: Molto Bene.
Geometria: Ho spinto un po' troppo. Ripasseremo per bene i concetti. Comunque piuttosto bene ed abbiamo tutto il tempo di affinare il meccanismo.
In particolare dobbiamo vedere per bene come si calcola l'area totale di un solido.

Quesito
Ripropongo ancora il quesito sui dadi ma, questa volta, in maniera semplificata.
Supponiamo di avere 2 dadi (uno rosso ed uno blu) ciascuno con 3 numeri
(nel senso che ogni dado, se lanciato, fa uscire un numero a caso tra 1,2 e 3).
La domanda è: come fareste a sorteggiare un numero a caso da 1 a 9 ?

Nel post di ieri trovate anche un video di un giocoliere di altri tempi molto famoso.

Ciao,
guzman.