Scrutini in 4D

E' un periodo impegnativo: verifiche e scrutini.
Tutto tace in attesa del passaggio di questi eventi.
Ripartiremo con calma tra poco.

In attesa di nuovi argomenti riguardanti sketchup, la scuola o altri argomenti vari,
do la soluzione al quesito della "Piramide 4D".


La parte matematica di questo post è molto tecnica.
Tornerò su argomenti più leggeri prossimamente.
Tuttavia, se siete interessati, potete capire i singoli passi.

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Piramide 4D (o simplesso 4D)

In zero dimensioni abbiamo un solo punto (o vertice).

In una dimensione (cioè su una retta) possiamo aggiungere un vertice e collegarlo a quello precedente. Quindi ora abbiamo due vertici ed un segmento (o spigolo, per cosi dire).

In due dimensioni (cioè nel piano) possiamo aggiungere un altro vertice e collegarlo ai due vertici precedenti. In questo modo otteniamo un triangolo. I vertici diventanto 3, i segmenti (o spigoli) diventano 3 (1 di prima più 2 nuovi) e si crea 1 faccia.

In tre dimensioni (cioè nel comune spazio) possiamo aggiungere un altro vertice e collegarlo con i tre vertici precedenti per ottenere un tetraedro. In questo modo i vertici diventano 4, i segmenti (o spigoli) diventano 6 (3 di prima più 3 nuovi), le faccie diventano 4 (1 di prima più 3 nuove) e compare 1 solido (il tetraedro stesso).

Finalmente in quattro dimensioni (non vi preoccupate di cosa significa) possiamo aggiungere un vertice ancora e collegarlo a tutti vertici del tetraedro per ottenere una piramide 4d (o simplesso 4D come si chiama tecnicamente).
[In figura è data una rappresentazione di questo oggetto che in verità vive in uno spazio a 4 dimensioni]

In questo modo abbiamo:
5 vertici (4 di prima, più 1 nuovo)
10 spigoli (6 di prima, più i 4 spigoli che vanno dal nuovo vertice verso i vecchi vertici)
10 facce (4 di prima, più le facce che si creano su ognuno dei 6 spigoli di prima i cui estremi sono collegati al nuovo vertice)
5 solidi (1 solido di prima, il tetraedro, più i 4 nuovi tetraedri che si creano sulle 4 facce di prima i cui vertici vengono collegati al nuovo vertice)
1 solido 4D (la piramide 4D stessa).

Ok, lo so, non era facile.
Ne parleremo probabilmente al corso di matematica avanzata pomeridiano e tutto vi sembrerà più facile.
Non solo, scoprirete strani nessi con il calcolo letterale e con (a+b)², (a+b)³, (a+b)⁴ ...

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Quesiti
Vi ripropongo il quesito sui dadi ma, questa volta, in maniera semplificata.
Supponiamo di avere 2 dadi (uno rosso ed uno blu) ciascuno con 3 numeri
(nel senso che ogni dado, se lanciato, fa uscire un numero a caso tra 1,2 e 3).
La domanda è: come fareste a sorteggiare un numero a caso da 1 a 9 ?

Siete perfettamente in grado di risolverlo, è molto facile.

Ciao,
guzman.

E per rilassarsi un po':
Un super classico della giocoleria: Francis Brunn - Controllo Totale


Ok, lo so, le scarpette sono assurde e ridicole
ma la performance è incredibile ... (eccone un'altra).

ciao,
di nuovo,
guzman.

Andiamo avanti

Ieri ho ricevuto alcuni commenti molto importanti.
Grazie.

Dovrò forse partecipare ad un incontro in cui racconterò il mio modo di pensare e fare la scuola.

Però mi si pone un problema in cui forse potete aiutarmi e per il quale vi chiedo aiuto.



Questi sono alcuni principi che io seguo, in ordine sparso:

- Molti stimoli in ogni lezione
- Livello tecnico molto alto nelle lezioni
- Molto spazio alle discussioni in cui si affrontano i problemi insieme
- Ampio spazio all'esplorazione ed al gioco (vedi Rally di Matematica)
- Rispettare gli orari delle lezioni e non sprecare un solo minuto
- Molta più attenzione al processo, al procedimento, al meccanismo piuttosto che al risultato numerico
- Lasciare che i processi di astrazione siano fatti dai ragazzi attraverso serie di tentativi in casi concreti piuttosto che insegnamento di astrazioni già elaborate
- Ampio uso di tecnologie
- Abituare a lavorare per schemi piuttosto che ricorrendo alla memorizzazione
- Attenzione agli aspetti psicologici ed alla relazione fra studenti e docente
- Esercizi a casa e verifiche frequenti per testare l'apprendimento di piccoli passi

Su ciascuno di questi punti potrei scrivere a lungo ...
ma invece volevo chiedervi (se non sono domande troppo difficili):

Quali sono secondo voi gli aspetti più importanti ?
Cosa vi sembra utile, cos'è che aiuta a stare meglio o a imparare di più ?
Ci sono altri aspetti che vorreste sottolineare e che io ho scordato ?

ciao,
guzman

Quesiti
Vi ripropongo il quesito sui dadi ma, questa volta, in maniera semplificata.
Supponiamo di avere 2 dadi (uno rosso ed uno blu) ciascuno con 3 numeri
(nel senso che ogni dado, se lanciato, fa uscire un numero a caso tra 1,2 e 3).
La domanda è: come fareste a sorteggiare un numero a caso da 1 a 9 ?


[In figura un altra soluzione possibile per il quesito del dado con tre numeri, oltre alla semplice soluzione già data]

.

Arrabbiature

[Niente Immagine Oggi]

Mi arrabbio spesso in questo periodo.
Mi chiedo se sia sano e utile.
Ma mi rendo conto che la domanda va formulata meglio.
Sano e utile per chi?

Sano e utile per voi? Penso di si. Sono piuttosto convinto.
Perché vi costringe a lavorare bene. Ad affinare le vostre capacità.
Siete una buona classe e per questo mi arrabbio.
Perché potete fare molto bene.

Sano e utile per me? Non so. Forse si, forse no.

Ciao,
guzman.

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Quesiti
Ripeto i quesiti aperti dei giorni scorsi.

Dadi
Con i solidi regolari (tetraedro, cubo, ottaedro, dodecaedro, icosaedro) si ottengono dadi con 4,6,8,12,20 numeri.
Abbiamo visto anche come fare dadi con 2,3,5,10 numeri.
Per esempio per il dado con 3 numeri basta prendere un dado a 6 facce (normale cubo) e scrivere due volte il numero 1, due volte il numero 2, due volte il numero 3. Si ottiene un dado equo con i numeri 1,2,3.

Usando una coppia di dadi (uno rosso e uno blu) con 10 numeri ciascuno, si può estrarre un numero a caso tra 1 e 100: il primo dado indica le decine ed il secondo dado indica le unità. Per cui, per esempio, se escono 6 e 1 si interpreta come 6*10 + 1 ossia 61.

Usando i dadi che siamo fin qui riusciti a immaginare (2,3,4,5,6,8,10,12,20) :
Sapreste descrivere un metodo che usi due dadi per estrarre un numero a caso tra 1 e 9 in maniera equa ?

Piramide 4D
Prima dimensione: Considerate un segmento.
Seconda dimensione: Considerate un punto esterno alla retta del segmento e collegatelo con i vertici del segmento, ottenete un triangolo.
Terza dimensione: Considerate un punto esterno al piano del triangolo e collegatelo con i vertici del triangolo, ottenete una piramide.
Quarta dimensione: Considerate adesso un punto (nella quarta dimensione) esterno allo spazio in cui vive la piramide, collegatelo con i vertici della piramide. Ottenete così una piramide in 4 dimensioni (non vi preoccupate di cosa significa ...)

Domanda: quanti vertici ha una piramide in 4D? quanti spigoli? quante facce? e quanti solidi 3D?


ciao,
guzman

Seguimi !!

Con il comando "seguimi" si possono fare tantissime costruzioni. Oggi avete fatto alcuni tubi di prova ma soprattutto delle brocche spettacolari (qua accanto quella di Lucrezia) Come sapete sono a scuola, metto alcuni disegni di oggi ... tutti gli altri li trovate qua e qua. finirò il post più tardi e risponderò ai commenti più tardi.

"Iperbrocca" - Paolo


Calice - Lorenzo


Pallone - Marco


Brocca - Valentina


Pallone - Dario


Vaso - Alex


ciao,
guzman.

Le macchine 3D (post by Davide)

Andate a vedere le nostre macchine dentro Google Earth ... ce le ha messe il prof e si possono guidare e far saltare e volare.

Le Nostre Macchine in Google Earth

ciao
da Davide e Guzman.

divertitevi.

(Guzman è al consiglio di pomeriggio).

____

Ciao ragazzi,
eccomi tornato.
Il post l'ha scritto Davide insieme a me.
Se andate nella pagina delle maccchine potrebbe essere necessario istallare un plugin,
ma è facile e veloce.

Soluzioni Quesiti

Coccinella
Daniele ha risolto brillantemente il quesito della coccinella.
Se srotolate il cilindro ottenete un disegno come quello accanto: la base del rettangolo misura 16cm perché coincide con la circonferenza, mentre l'altezza è 60cm che diviso 5 fa 12cm. Quindi un pezzetto diagonale è 20cm ed in totale 100cm.
Bravo Daniele.

Dadi con 3, 5, 10 numeri.
Ok, nessuno è riuscito a trovare il modo di fare un dado equo con 3, 5, o 10 numeri senza usare solidi strani.
A dire il vero c'erano state un paio di soluzioni accettabili ma che non soddifacevano del tutto.
La soluzione di Ilaria, per il dado con 3 numeri per esempio, prevedeva di tirare un dado a 4 facce ed eventualmente ritirare il dado quando esce il numero 4. La soluzione funziona ma in media una volta ogni 4 bisogna ritirare il dado mentre uno vorrebbe un vero dado con 3 numeri.
La soluzione di Dario prevedeva di scrivere i numeri intorno a un cilindro e poi farlo rotolare (ed in effetti esiste questo tipo di dadi). Oppure intorno a una ruota (come la ruota della fortuna) o giro giro su una trottola. La soluzione ha senso e funziona, l'unico difetto è che non usa veramente i solidi, in definitiva si tratta di numeri scritti su una circonferenza.

La soluzione più semplice possibile è la seguente
Per il dado con 3 numeri (non 3 facce):
Prendete un comune dado a 6 facce e scriveteci sopra 3 numeri. Come? facile, due volte il numero 1, due volte il numero 2 e due volte il numero 3.

Per il dado a 5 facce procedete allo stesso modo prendendo un dado a 20 facce e scrivendoci i numeri 1,2,3,4,5 ciascuno quattro volte.

Per il dado a 10 facce procedete allo stesso modo prendendo un dado a 20 facce e scrivendoci i numeri da 1 a 10 ciascuno due volte.

In questo modo ottenete dei dadi equi con 3 numeri, 5 numeri, 10 numeri.

Facile no ?
Che ne pensate ?

Nuovi Quesiti

Dadi
Con i solidi regolari (tetraedro, cubo, ottaedro, dodecaedro, icosaedro) si ottengono dadi con 4,6,8,12,20 numeri.
Abbiamo visto che con il trucco precedente, i solidi regolari possono essere usati per ottenere dadi con 2,3,5,10 numeri.

Usando una coppia di dadi (uno rosso e uno blu) con 10 numeri ciascuno, si può estrarre un numero a caso tra 1 e 100. Il primo dado indica le decine ed il secondo dado indica le unità. Per cui, per esempio, se escono 6 e 1 si interpreta come 6*10 + 1 ossia 61.

Usando i dadi che siamo fin qui riusciti a immaginare (2,3,4,5,6,8,10,12,20) :
Sapreste descrivere un metodo per estrarre un numero a caso tra 1 e 9 in maniera equa ?

Piramide 4D
Prima dimensione: Considerate un segmento.
Seconda dimensione: Considerate un punto esterno alla retta del segmento e collegatelo con i vertici del segmento, ottenete un triangolo.
Terza dimensione: Considerate un punto esterno al piano del triangolo e collegatelo con i vertici del triangolo, ottenete una piramide.
Quarta dimensione: Considerate adesso un punto (nella quarta dimensione) esterno allo spazio in cui vive la piramide, collegatelo con i vertici della piramide. Ottenete così una piramide in 4 dimensioni (non vi preoccupate di cosa significa ...)

Domanda: quanti vertici ha una piramide in 4D? quanti spigoli? quante facce? e quanti solidi 3D?


ciao,
guzman

Meta-livello

Vorrei fare un meta-ragionamento ossia un ragionamento sui nostri ragionamenti.
Penso che i ragionamenti che portiamo avanti siano importanti.
Penso che sia abbastanza unica l'idea di fare con voi ragazzi dei ragionamenti di livello adulto.

Potrei fare un blog molto più banale ma io credo che voi siate perfettamente in grado di interessarvi a questioni di livello alto e che siate in grado di comprendere procedimenti di complessità elevata.

Sono convinto che siete capaci di ragionamenti complessi, spesso più di quanto non lo siano gli adulti. E devo dire che mentre scrivo mi rendo conto di quanto questo aspetto sia interessante.

Ci tornerò su. Mi interessa troppo.

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Parte Matematico-Linguistica

Se dico meta-conoscenza intendo conoscenza della conoscenza.

Se dico meta-apprendimento intendo apprendimento dei processi di apprendimento.

Se dico meta-comunicazione intendo una comunicazione che riguarda le comunicazioni stesse: per esempio se dico "ogni mia frase è una domanda" è una meta-comunicazione perché comunica che le successive comunicazione sono domande.

I processi cognitivi sono i processi mentali che portano a conoscere qualcosa.
I processi meta-cognitivi sono i processi mentali che portano a conoscere i processi cognitivi.

Se dico meta-analisi intendo l'analisi delle analisi fatte.
...

Insomma:
conoscenza della conoscenza (meta-conoscenza),
apprendimento sull'apprendimento (meta-apprendimento),
comunicazione sulla comunicazione (meta-comunicazione),
cognizione della cognizione (meta-cognizione),
analisi dell'analisi (meta-analisi) ...

In generale si parla di meta-livello quando si esce dal livello normale di ragionamento e si entra in un secondo livello che ragiona sul primo livello.

La matematica adora i meta-livelli.
Perché è ragionando sui procedimenti e sui meccanismi che si scopre come funzionano le cose.

Ed ovviamente esiste una meta-matematica ossia una matematica della matematica ....
che usa la matematica per studiare la matematica ... ma qui la cosa diventa ancora più difficile.

---

Quesiti
1- E' ancora aperto il quesito di come fare dei dadi con 3, 5, 10 numeri.
[Ultima chance e poi dò la soluzione]

2 - E' ancora aperto il quesito della coccinella:
Una coccinella sale lungo una colonna secondo un percorso a elica, vedi figura.
Quando arriva in cima la coccinella ha fatto 5 giri esatti della colonna.
Se la colonna è alta 60cm e la sua circonferenza è 16 cm, quanta strada ha fatto la coccinella?
[Ultima chance e poi dò un indizio]

Ciao,
guzman.





Non perdetevi il post precedente con la Calcolatrice con le Lettere,
Le vostre macchine in Google Earth ed un aereo.

Figure: Cavallo di Troia di Dario e Ilaria. Complimenti.
Ogni altro cavallo o esperimento è super benvenuto.

Calcolatrice con le Lettere

Wolfram Alpha
Esiste un particolare motore di ricerca in grado anche di eseguire calcoli letterali:
per esempio, sa calcolare il risultato di espressione letterali
e sa risolvere le equazioni.
Non vi fa vedere i passaggi però è utile per controllare se uno ha fatto bene qualcosa:
per esempio, se a un certo punto dovete calcolare (a+1)(2a+1) ed avete dei dubbi (ma so che non ne avete) potete controllare se avete fatto bene:

(a+1)(2a+1)

Se scorrete un po' la pagina vedete il risultato della semplificazione dell'espressione.
Vi ricordo che il prodotto si fa con l'asterisco * (oppure a volte anche senza nessun simbolo di operazione) e che la potenza si fa con ^ (per esempio 2^3 significa 2³ cioè 2 alla terza).
La pagina iniziale di questo particolare motore di ricerca è questa:

Wolfram Alpha

Sa fare molte cose ed in particolare è una potente calcolatrice algebrica e grafica (come vedrete fa anche i grafici delle espressioni ... tra poco studieremo cosa sono).

Le Vostre Macchine in Google Earth
Ho messo altre vostre macchine in Google Earth e potete usarle per correre e saltare ...

Ho messo anche
un aereo di Lorenzo ...

Di macchine ne metterò ancora ma se avete delle richieste particolari fatele pure.

Ho intenzione anche di mettere più comandi per l'aereo e di attivare le gare tra due macchine.

Come si ottengono tutte queste possibilità? Imparando a programmare i computer.
E' possibile dare delle istruzioni al computer usando particolari linguaggi detti linguaggi di programmazione.
Nello specifico per ottenere questi effetti ho usato il linguaggio Javascript (che non ha niente a che vedere con Java che è un altro linguaggio ancora).

Quesiti
1- E' ancora aperto il quesito di come fare dei dadi con 3, 5, 10 numeri.

2 - E' ancora aperto il quesito della coccinella:
Una coccinella sale lungo una colonna secondo un percorso a elica, vedi figura.
Quando arriva in cima la coccinella ha fatto 5 giri esatti della colonna.
Se la colonna è alta 60cm e la sua circonferenza è 16 cm, quanta strada ha fatto la coccinella?

3 - La figura in alto rappresenta il Logo di Wolfram Alpha, che poliedro si ottiene se si collegano fra loro le punte della stella ?

Ciao,
guzman.

Domani esercitazione.

Domanda: pensate che sia possibile per voi disegnare il Cavallo di Troia come descritto nel post precedente ? Se qualcuno ha voglia di fare una prova in anteprima vince un dado.

Aggiornamento:
Detto fatto. Il Cavallo di Troia di Dario e Ilaria, complimenti:



Ogni altro cavallo o esperimento è super benvenuto.

Iliade 2

Vari millenni fa (nel 1200 a.c. circa) ci fu una guerra che durò 10 anni fra i Greci ed i Troiani.
Nella figura qua sopra potete vedere l'Italia sulla sinistra, la Grecia al centro, e la Turchia a sinistra. La freccia indica il luogo dove si trovava la città di Troia (nell'attuale Turchia). (ingradisci immagine)

I Greci (detti anche Achei) combattevano i Troiani per il controllo della zona.

L'Iliade narra l'ultimo anno di guerra e racconta le vicende e l'ira di Achille, valoroso guerriero Greco.

La città di Troia venne infine conquistata senza battaglia ma con un inganno.
Ulisse (greco) concepì un nuovo inganno: un gigantesco cavallo di legno cavo con su scritto «I greci dedicano questa offerta di ringraziamento agli dei per un buon ritorno a casa».

Il cavallo cavo venne riempito di soldati (qualche decina secondo la leggenda) e lasciato sul posto. Tutto il resto dell'esercito abbandonò il campo e si allontanarono con le navi.

Quando i Troiani trovarono il cavallo di legno pensarono che i greci si fossero ritirati e decisero di portare il cavallo dentro le mura della città per festeggiare. Durante la notte i valorosi guerrieri greci uscirono dal cavallo e ci fu un massacro di troiani.

Il racconto del Cavallo di Troia non viene però narrato nell'Iliade ma in un poema molto successivo: l'Eneide del latino Virgilio.
___________

Se qualcuno vuole provare a fare il cavallo, qua accanto avete uno schema di come potrebbe essere. Fondamentalmente dovete disegnare una figura piatta e poi dargli un po' di spessore usando "spingi e tira".

Quesito
La coccinella sulla colonna
Una coccinella sale lungo una colonna secondo un percorso a elica, vedi figura.
Quando arriva in cima la coccinella ha fatto 5 giri esatti della colonna.
Se la colonna è alta 60cm e la sua circonferenza è 16 cm, quanta strada ha fatto la coccinella?

[Darò la soluzione al quesito dei dadi prossimamente]

ciao,
guzman



Corse Folli con Le Vostre Macchine in Google Earth
Sono disponibili altre vostre macchine ...
(potete scegliere la macchina in fondo alla pagina)

Ne metterò altre ancora, poi proverò un aereo
e poi attiverò anche le gare ...

Iliade

Ho delle novità per voi ...

Dunque, procedendo con ordine.

Sketchup 1:
La preside mi ha chiesto se riusciamo a preparare un video fatto con Sketchup e riguardante l'Iliade e la Guerra di Troia.
Se lo facciamo, il video sarà usato, insieme ad altri, come sfondo per alcuni importanti concerti di varie scuole.
Io ho detto che penso che ci riusciremo.
Penso che potremo disegnare elmi, spade, tempi, carri e ... Il Cavallo di Troia (magari stilizzato come quello qua accanto).
Per chi volesse fare già delle prove metterò altre immagini i prossimi giorni ...

Sketchup 2:
A partire da oggi sarà possibile guidare le macchine disegnate da voi dentro Google Earth: potete correre, accelerare, frenare, saltare, ... sulla terra nel posto che volete con le vostre macchine.
Ho avuto dei problemi tecnici ma adesso è tutto risolto:
la prima macchina (quella di Cosimo) è già funzionante
e nei prossimi giorni le attiverò tutte.
Per provare è sufficiente aprire la pagina seguente e, se necessario, accettare di istallare il Pluign di Google Earth:

Corse Folli con Le Vostre Macchine in Google Earth
(provatelo, è divertente, specialmente saltare sulle colline ...)

Corso Matematica Avanzata
Giovedì 4 partiremo anche con il corso di matematica avanzata.
Penso che potremo divertirci ...


Quesiti
Daniele ha risolto il quesito delle scimmie che mangiano le banane.
Il quesito diceva:
Se 8 scimmie mangiano 8 banane in 8 minuti,
quanto ci mettono 4 scimmie a mangiare 4 banane?
e quante scimmie servono per mangiare 48 banane in 48 minuti?

Dunque se 8 scimmie mangiano 8 banane in 8 minuti,
significa che ciascuna di loro mangia una banana in 8 minuti
(cosicché 8 scimmie insieme si mangiano una banana ciascuna in 8 minuti
per un totale di 8 banane in 8 minuti).

Se ogni scimmia mangia una banana in 8 minuti,
allora 4 scimmie mangiano 4 banane in 8 minuti (una banana per ogni scimmia).

In 48 minuti una scimmia mangia 6 banane (una ogni 8 minuti)
quindi se vogliamo che in 48 minuti vengano consumate 48 banane
ci vorranno 8 scimmie.

Daniele ha dato entrambe le risposte giuste.

Quesito Aperto
Come fareste ad ottenere un dado con 3 numeri, uno con 5 numeri, uno con 10 numeri?
Posso solo ribadire di leggere bene ogni singola parola e sottolineare che non dovete usare solidi strani.

Ciao,
guzman.

Spero che la possibilità del video con Sketchup vi interessi.
E che guidare le vostre macchine in Google Earth vi piaccia.

Il Terrore degli Scrutini

Gennaio è un mese difficile.
Dopo le vacanze si può fare un po' di fatica a ripartire.
Ma non solo: tra poco arrivano gli scrutini e questo fatto mette tensione.
L'apprendimento, la crescita, la comprensione passano in secondo piano e la valutazione diventa il centro d'attenzione della scuola: da parte degli insegnanti e da parte dei ragazzi.
Tutto ruota per un mese intorno alle ultime interrogazioni del quadrimestre ed alle ultime verifiche del quadrimestre.

La parte di discussione, comprensione, crescita diventano più difficili.
La parte ludica resta spesso esclusa.

Si potrebbe obiettare che anche la fase di valutazione del lavoro fatto è una fase di crescita personale. E non dico di no. Sono sempre propenso a fare verifiche frequenti.
Ma c'è qualcosa che rende il periodo degli scrutini troppo angosciante.
Forse perché la valutazione verte troppo sui livelli raggiunti piuttosto che sui percorsi ed i processi affrontati dai ragazzi, forse perché a volte tutto dipende troppo da un'ultima interrogazione.

Mi piacerebbe si riuscisse in generale ad affrontare questo periodo in maniera diversa.

Magari domani diciamo qualcosa in riguardo
(senza togliere troppo tempo agli esercizi che vi fanno bene).

Metariflessione (ossia riflessione sulle riflessioni):
Aggiungo ancora una volta che questo blog mi costringe a pensare perché per scrivere e raccontare quello che succede è necessario riflettere ed analizzare sul come e perché certe cose succedono. Spero e credo che sia utile anche per chi legge, nel senso che chi legge si troverà a riflettere ed a fare dei propri pensieri sugli argomenti in questione.

Ciao,
guzman.

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Parte Matematica (e Fisica): Quante dimensioni ha il nostro universo?
In matematica, non è un problema, si parla di 4 dimensioni (vedete il post sul cubo in 4 dimensioni) oppure di 5 dimensioni, di 6 dimensioni e volendo anche di infinite dimensioni.

Ma cosa c'entra la quarta dimensione con il mondo reale?

Un modo di pensare alla quarta dimensione nel mondo reale è associare la quarta dimensione al tempo.

Pensateci:
mi posso spostare avanti e indietro stando su una retta, questa è una direzione (prima dimensione),
mi posso spostare a destra e a sinistra stando su una retta ortogonale alla prima e questa è un'altra direzione (seconda dimensione),
mi posso spostare verso l'alto e verso il basso stando su una retta ortogonale alle prime due e questa è un'altra direzione ancora (terza dimensione).

Il tempo può essere considerato la quarta dimensione nel senso che uno ipoteticamente potrebbe spostarsi avanti e indietro nel tempo così come si sposta nello spazio. Ciò in realtà non è possibile (perché andrebbe contro le leggi della fisica), ma dato che è possibile immaginarlo quella dimensione esiste.

La Teoria della relatività di Einstein dice tra l'altro che tempo e spazio sono in realtà due componenti di una stessa entità unica che viene chiamata spazio-tempo e che ha per l'appunto 4 dimensioni.

Le più moderne teorie fisiche (dette Teorie del Tutto, peché cercano di unificare tutte le forze della fisica in una sola forza) affermano addirittura che in realtà il mondo in cui viviamo ha esattamente 11-dimensioni delle quali noi siamo in grado di percepire solo 3 dimensioni di spazio ed una dimensione di tempo.

Quindi la matematica che studia oggetti a più dimensioni ha un interesse.


Ma soprattutto, anche se non avesse un interesse preciso
ai matematici piace divertircisi lo stesso.
In più, fare matematica in più dimensioni è molto facile,
molto più facile che pensare alle teorie fisiche dell'universo.

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Contando Vertici, Spigoli e Facce sulla figura del cubo 4D, Ilaria ha risolto il quesito del cubo 4D. Questo qua accanto è il suo premio virtuale da me creato. Si tratta di una deformazione del dado a 30 facce che si ottiene incastrando 30 pezzetti uguali. Per ringraziarmi Ilaria ha fatto questo disegno e mi ha chiesto di metterlo qua.

Quesito
E' ancora aperto il quesito dei dadi: Come fareste ad ottenere un dado con 3 numeri, uno con 5 numeri, uno con 10 numeri?
Posso solo ribadire di leggere bene ogni singola parola e sottolineare che non dovete usare solidi strani.

ciao,
guzman.

[Curiosità: Questo è Mio Padre, dico davvero, non è uno scherzo;
Ecco un confronto (tra mio padre e Einstein)]

Nuovo Quesito.
Se 8 scimmie mangiano 8 banane in 8 minuti,
quanto ci mettono 4 scimmie a mangiare 4 banane?
e quante scimmie servono per mangiare 48 banane in 48 minuti?

hmmm ... dunque, vediamo ... 8 scimmie, 8 banane ....

Poesia nel Tetraedro ?

Sofia chiede sempre che i post abbiano un lato in certo senso poetico, umano.
Che non siano solo post tecnici e matematici.
Che siano post che raccontano qualcosa del mondo ed ancora di più di noi esseri umani.

I giorni scorsi abbiamo parlato di cubi in 4 dimensioni, di sviluppi piani del cubo, di icosaedri, di mucchi di arance e di tetraedri. (Ricordo che il tetraedro è una piramide a base triangolare con triangoli equilateri come facce).

Ora mi chiedevo.
Ci può essere un lato umano in un tetraedro?

Ebbene si.
Se accettate che quattro sfere messe a contatto (3 sotto ed una sopra)
costituiscono un tetraedro ... beh, allora il lato umano del tetraedro, per un giocoliere come me, si trova presto:

Micheal Moschen, Il lato umano del tetraedro.

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Quesito Risolto: Gli sviluppi del Cubo.

Dario ha risolto il quesito degli sviluppi piani del cubo.

Qua accanto abbiamo lo sviluppo piano classico del cubo.
Ma questo non è l'unico modo di sviluppare un cubo nel piano.

Il quesito chiedeva di trovare tutti gli sviluppi piani del cubo e Dario li ha trovati.

Sono 11, sono quelli nella figura in alto.
Ciacuno di quei disegni può essere piegato per ottenere un cubo.

Un secondo quesito che era rimasto aperto era quello di trovare tutti gli sviluppi piani del tetraedro:



Se uno si mettesse a cercare gli sviluppi piani dell'ottaedro scoprirebbe che sono 11 (come quelli del cubo).
Se uno si mettesse a cercare gli sviluppi piani dell'icosaedro scoprirebbe sono 43,380, ed anche quelli del dodecaedro sono 43,380.
Viene fuori che poliedri duali (cubo e ottaedro, icosaedro e dodecaedro) hanno lo stesso numero di sviluppi piani.

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Ciao,
guzman.

Resta da capire come fare un dado con 3 numeri, con 5 numeri, con 10 numeri.

Un Cubo in 4 Dimensioni

I vostri icosaedri stanno nel post precedente.
Molto belli, complimenti.

Proviamo adesso a immaginare un cubo in 4 dimensioni ...
Ok, lo so, è impossibile immaginarlo ....
che significa in 4 dimensioni?
in che direzione sarebbe la quarta dimensione?
D'accordo non si riesce a pensarlo.

Però si può procedere per analogia.

Cominciamo da un punto. Bene facile.

Adesso prendete due punti a distanza 1 (qualunque sia l'unità) è collegateli tra loro: avete ottenuto un segmento di lunghezza 1. Bene facile.

Adesso prendete due segmenti a distanza 1 e collegateli tra loro:
ottenete un quadrato di lato 1. Bene facile.

Adesso prendete due quadrati a distanza 1 e collegateli tra loro:
ottenete un cubo di lato 1. Bene facile.
Adesso prendete ....

Esatto prendete due cubi e collegateli fra di loro.
Ooops, si pone un problema ...
Fin'ora avevamo sempre una direzione in cui mettere la seconda copia:
il secondo punto l'abbiamo messo spostandosi lungo l'asse rosso (in figura),
il secondo segmento l'abbiamo messo spostandosi lungo l'asse verde,
il secondo quadrato l'abbiamo messo spostandosi lungo l'asse blu.

Ma adesso lungo quale asse dobbiamo spostarci per mettere il secondo cubo ?
Lungo un asse che non possiamo vedere perché sta nella 4 dimensione ...

Quindi, per riuscire a completare il disegno, e farsi un'idea del cubo in 4 dimensioni
semplicemente disegnamo un altro cubo e lo colleghiamo con il primo cubo.
Ecco il disegno fatto da Ilaria:

C'è un cubo dentro ed un cubo fuori ma dovete immaginare che sono uguali.
E' un po' come quando nel piano disegnamo un cubo in assonometria:
alcuni quadrati diventano parallelogrammi e non sembrano quadrati.
Qui è la stessa cosa: il cubo interno nel mondo in 4D è in realtà uguale a quello esterno.

Dalla figura si capisce (ed Ilaria vince per aver fatto i conti per prima) che il cubo in 4D ha:
16 Vertici,
32 Spigoli,
24 Facce.

Ma manca una cosa: un cubo in 4D non ha solo vertici, spigoli e facce ma è anche circondato da vari cubi tridimensionali:
8 per la precisione:
quello interno,
quello esterno,
e i sei cubi che collegano le facce del cubo interno con le facce del cubo esterno.
Lo so, non sembrano cubi, ma pensate alla questione dei parallelogrammi che rappresentano quadrati nell'assonometria del cubo 3D ... qui è la stessa cosa. Anche se non sembra, sono cubi anche quelli.

Avete appena fatto i vostri primi conti in 4D.
In realtà i conti in 4D sono molto più facili di così
dopo che uno conosce le coordinate cartesiane ...
Ma questa è un'altra storia ....

Questo è un cubo in 4D proiettato nel nostro spazio 3D mentre ruota:
ciao,
guzman.

Eh, già, oggi matematica pura.
Un piccolo assaggio di cosa potreste trovare nel Corso di Matematica Avanzata:
tutti i giovedi dalle 15:00 alle 16:30.
Ovviamente faccia a faccia ci capiamo meglio e ci si può ragionare con calma.

Quesiti:
Dario ha risolto il quesito degli sviluppi del cubo (quello normale) e ne parlerò prossimamente.
Ilaria ha risolto il quesito del cubo 4D.

Resta da capire come fare un dado con 3 numeri, con 5 numeri, con 10 numeri.

Icosaedri arrabbiati

Sarà perché mi sono arrabbiato o
più semplicemente perché siete bravi
ma oggi avete fatto dei bei lavori.

Ne riporto alcuni qua sotto, tutti gli altri potete vederli qua (sono 22 per ora).

Come abbiamo visto si inizia disegnando tre rettangoli aurei perpendicolari tra loro.
Poi si uniscono tutti i vertici e viene fuori l'icosaedro.

[In figura, Disegno di Marco: Icosaedro, Esploso e Bucato.]

A partire dall'icosaedro si può:

• costruire l'icosaedro bucato (cioè solo gli spigoli),
• costruire l'icosaedro esploso (con il comando spingi/tira),
• costruire il dodecaedro (unendo secondo una certa regola i vertici dell'icosaedro esploso),
• costruire il pallone da calcio (tagliando le punte dell'icosaedro e mettendoci delle toppe pentagonali nere). Tecnicamente il pallone da calcio si chiama icosaedro troncato peché è un icosaedro a cui sono state troncate le punte.

Martina, struttura dell'icosaedro.


Dario, Icosaedro, esploso, bucato, troncato (da finire).


Lorenzo, si possono vedere le stelle che si formano dentro.


Lucrezia, Icosaedro d'acqua.


Paolo, icosaedro bucato


Elisa, icosaedro


Alex, icosaedro



Ginevra, Struttura dell'icosaedro ed Icosaedro.


Davide, icosaedro, bucato, esploso e dodecaedro.


Cosimo, icosaedro, bucato, esploso


Patrizia, icosaedro esploso


Enrico, icosaedro, esploso, bucato.



Ripeto, tutti gli altri potete vederli qua (sono 22 per ora).

ciao,
guzman.

[Per i quesiti vedete il post precedente.
Ilaria si aggiudica un punto per aver quasi completamente risolto il problema del cubo in 4D]