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Scuola: Cabri - Disegni - Sketchup

sabato 16 gennaio 2010

Poliedri regolari e Dadi.

Chiedo scusa per il post molto tecnico di ieri.
Qualcuno magari lo ha trovato comunque interessante
(se è così lasciate un commento per dire cosa pensate del post di ieri).

Di solito non metto qui nel blog ciò che facciamo a scuola.
Tuttavia oggi era un argomento extra e siccome alcuni erano assenti e potrebbero essere interessati, riporto in questo post (e probabilmente nei prossimi) i punti salienti della lezione.

Oggi abbiamo cercato di capire quali e quanti sono i poliedri regolari.

commenti



Innanzitutto:
Un poliedro si dice regolare (o Platonico) se
  • tutte le facce sono poligoni regolari uguali e
  • tutti i vertici sono uguali nel senso che intorno a ogni vertice c'è sempre lo stesso numero di facce.

Dato che le facce devono essere poligoni regolari tutti uguali dobbiamo scegliere tra:
triangoli equilateri, quadrati, pentagoni, ....

Se scegliamo i triangoli e ne mettiamo 3 intorno ad ogni vertice:
si ottiene il tetraedro (una piramide a base triangolare con tutte le facce uguali)
Tetraedro
Visione tridimensionale del tetraedro regolare
Tipo Solido Regolare
Facce Triangoli
· Facce
· Spigoli
· Vertici
4
6
4
Spigoli in ogni vertici 3

Se scegliamo i triangoli e ne mettiamo 4 intorno ad ogni vertice:
si ottiene l'ottaedro (due piramidi a base quadrate unite con tutte le facce costituite da triangoli equilateri)
Ottaedro
120px-Octahedron-slowturn.gif
Tipo Solido Regolare
Facce Triangoli
· Facce
· Spigoli
· Vertici
8
12
6
Spigoli in ogni vertice 4

Se scegliamo i triangoli e ne mettiamo 5 intorno ad ogni vertice:
si ottiene l'icosaedro che ha venti facce costituite da triangoli equilateri.
Icosaedro
120px-Icosahedron-slowturn.gif
Tipo Solido Regolare
Facce Triangoli
· Facce
· Spigoli
· Vertici
20
30
12
Spigoli in ogni vertici 5



Se scegliamo i triangoli e ne mettiamo 6 intorno ad ogni vertice non viene più un solido ma una figura piana (6 triangoli equilateri formano un esagono).
Quindi non è possibile mettere più di 5 triangoli equilateri intorno ad ogni vertice.

Se scegliamo i quadrati e ne mettiamo 3 intorno ad ogni vertice:
si ottiene l'esaedro più comunemente detto cubo.
Cubo
Cubo
Tipo Solido Regolare
Facce Quadrati
· Facce
· Spigoli
· Vertici
6
12
8
Spigoli in ogni vertice 3



Se scegliamo i quadrati e ne mettiamo 4 intorno ad ogni vertice non viene più un solido ma una figura piana (4 quadrati formano un qudrato più grande).
Quindi non è possibile mettere più di 3 quadrati intorno a ogni vertice.

Se scegliamo i pentagoni regolari e ne mettiamo 3 intorno ad ogni vertice:
si ottiene il dodecaedro che ha come facce 12 triangoli equilateri.
Dodecaedro
120px-Dodecahedron-slowturn.gif
Tipo Solido Regolare
Facce Pentagoni regolari
· Facce
· Spigoli
· Vertici
12
30
20
Spigoli in ogni vertice 3




Se proviamo a mettere 4 pentagoni regolari intorno ad un vertice scopriamo che non c'entrano e così anche per 5 pentagoni, ecc.

Se proviamo a mettere 3 esagoni intorno ad un vertice scopriamo che viene una figura piana.
Mentre 4 esagoni intorno ad un vertice non c'entrano.

Se proviamo a mettere 3 eptagoni (con 7 lati) regolari intorno ad un verice scopriamo che non c'entrano. E così per tutti poligoni con più lati.



Quindi i poliedri regolari (o platonici) sono i 5 poliedri che abbiamo elencato qua sopra.

Abbiamo parlato anche della possibilità di costruirli col cartoncino ed io ne ho fatti vedere diversi ...
Vi darò le indicazioni per costruire questi ed altri poliedri curiosi nei prossimo post ...

ciao,
guzman.

[In figura i Poliedri Regolari disegnati da me,
molti li avete già disegnati anche voi e presto ne farete altri]

E scusate, oggi era veramente lungo e matematico.

10 commenti:

Gama ha detto...

Mi sarebbe piaciuto esserci oggi a scuola!

Guzman ha detto...

Ciao Dario,

tranquillo,
ho scritto questo lungo post per rimediare ...
e ci saranno ancora vari post riaguardanti proprietà interessanti dei poliedri ...

ciao,
guzman.

Lo abbiamo già fatto a scuola
ma prova a pensare che poliedro ottieni se colleghi fra loro i centri delle facce di un cubo,
oppure se colleghi fra loro i centri delle facce di un ottaedro ...
??

ciao,
guzman.

Guzman ha detto...

Dadi:

tra poco ritornano i dadi a 24 e 30 facce.

che richiedono (3 vittorie).

Ho scordato di chiedere riguardo a quelli fatti ad antiprisma (quelli sembrano cilindrici) ...
Poi chiedo.

ciao,
guzman.

Gama ha detto...

Se colleghi i centri di un cubo viene un ottaedro, e se colleghi i centri di un ottaedro viene un cubo.

Guzman ha detto...

Grandissimo!!!

dunque, il poliedro che si ottiene collegando i centri delle facce si chiama poliedro duale,

per cui il duale del cubo e l'ottaedro
ed il duale dell'ottaedro è il cubo come hai detto giustamente.

Prova adesso a trovare i duali di:
icosaedro,
dodecaedro,
tetraedro ...

ciao,
guzman.

Gama ha detto...

Il duale dell'icosaedro è il dodecaedro, il duale di un tetraedro è un'altro tetraedro e il duale di un dodecaedro è un icosaedro.

Guzman ha detto...

Esatto, complimenti
(duali) ...

è divertente anche con Sketchup,
uno disegna per esempio un cubo,
poi lo fa di vetro oppure attiva i raggi-X per vedere attraverso
e poi collega i centri,
così ottiene un cubo con dentro un ottaedro ...

ciao,
guzman

Sofy :) ha detto...

Cmq,Guz si dovrebbero pagare i dadi!Cioè io penso che costano.. in totale ne avrai spesi di soldi xD

Guzman ha detto...

Ciao Sofia :)

Dunque io li compro all'ingrosso e ne compro tanti insieme,
in questo modo ciascuno costa abbastanza poco ...
va bene così, fa parte delle cose,
mi sta bene così.

ciao,
guzman

Guzman ha detto...

Ti ho risposto anche nell'altro post:

d'ora in poi farò i post con due parti:

la parte di pensieri e "poesia" come dici tu
e la parte matematica.

ciao,
guzman.