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Scuola: Cabri - Disegni - Sketchup

domenica 17 gennaio 2010

Dualità

Questo ed i prossimi post avranno una parte di pensieri ed una parte matematica delimitata da linee orizzontali.

Dualità (pensieri ...)
Nel parlare comune quando uno parla di dualismo e dualità si riferisce alla concezione secondo la quale in ogni cosa c'è la presenza di due essenze o principi opposti ed inconciliabili.
Per dirla semplice con un esempio, secondo questa visione filosofica della realtà, che io non condivido: in ogni azione di ogni persona c'è un po' di bene ed un po' di male.
In ogni cosa ci sarebbe un po' di luce ed un po' di buio, un po' di bene ed un po' di male, un po' di giusto ed un po' di ingiusto, ecc.
Tutto sarebbe fatto da un po' dell'uno ed un po' dell'altro.
Io preferisco pensare che quello che una persona è, è quello che è ...
e non si compone di un po' di bene ed un po' di male, semplicemente è la sua identità.

Non so, voi che ne dite?

In figura il classico simbolo Yin e Yang della religione taoista cinese
secondo la quale tutte le cose in natura hanno un po' di bene ed un po' di male.



Parte Matematica
In matematica la dualità è il seguente principio:

Dato un oggetto matematico, se costruisco l'oggetto opposto (secondo certe regole) ottengo un oggetto che avrà proprietà opposte.

Ossia: creando l'oggetto opposto si ottiene un oggetto che ha le proprietà opposte.

Un esempio di dualità è la dualità tra i poliedri con facce regolari.
Il duale di un poliedro con facce regolari si ottiene unendo fra loro i centri delle sue facce.

Abbiamo visto che in questa dualità:
il cubo corrisponde all'ottaedro (e viceversa),
l'icosaedro corrisponde al dodecaedro (e viceversa),
il tetraedro corrisponde a se stesso.

Consideriamo un poliedro A ed il suo duale B.
In che senso il poliedro duale B ha proprietà opposte rispetto ad A?

Nel senso che il numero di facce di A diventa il numero di vertici di B
ed il numero di vertici di A diventa il numero di facce di B.
Il numero degli spigoli resta invece lo stesso.
Quindi in questa dualità:
vertici corrispondono a facce,
facce corrispondono a vertici,
e spigoli corrispondo a spigoli.

Per esempio:
Cubo: Vertici 8, Spigoli 12, Facce 6
Ottaedro: Vertici 6, Spigoli 12, Facce 8.

Il duale di un poliedro si può costruire per tutti i poliedri le cui facce sono poliedri regolari.
Ne riparlerò i prossimi giorni quando parleremo di troncature ...



In Figura un bel modello di Daniele che mostra la dualità tra cubo e ottaedro:
unendo i centri delle facce del cubo si ottiene l'ottaedro
ed unendo i centri delle facce dell'ottaedro si ottiene il cubo.
Ottimo lavoro Daniele.

Notate che nella figura dello Yin e Yang (in alto)
se scambiate il bianco con il nero ottenete la stessa figura ... (solo ruotata).

Ciao,
guzman.

Il Quesito (un po' difficile ... ma forse no).
Più di uno di voi ha vinto il dado sferico con 6 numeri.
Per fare in modo che il dado non rotoli troppo,
all'interno c'è una piccola pallina che fà da pesino.
Ma non solo, la cavità interna ha una forma che permette alla pallina interna di fermarsi solo nelle 6 posizioni corrispondenti ai 6 numeri scritti sulla sfera.
In questo modo siamo sempre sicuri che quando il dado si ferma indica sempre un numero preciso e non si ferma a metà tra due numeri.
Ora la domanda è:
Qual'è la forma della cavità interna del dado sferico con 6 numeri ?

Aggiornamento: Dario ha risolto il quesito. La cavità interna deve essere un ottaedro con i vertici in corrispondenza dei numeri esterni in modo da creare delle piccole conche interne dove la pallina che fa da pesino si può fermare.
[Ho aggiunto anche il disegno del dado sferico che mi sono divertito a fare con Sketchup]

ciao,
di nuovo,
guzman.

21 commenti:

Anonimo ha detto...

Secondo me sono 6 conche profonde la metà della pallina che c'è all'interno; e ogni buco è proprio in corrispondenza di ciascun numero.
Dario

Guzman ha detto...

si questo è giusto,

ma immaginiamo che la cavità è anch'essa un poliedro
che è più semplice
da fare piuttosto che fare 6 conche.

di che poliedro si tratta ?

Anonimo ha detto...

Forse un ottaedro.
Dario

Guzman ha detto...

Esatto Dario,

perché la pallina deve fermarsi
in corrispondenza dei centri delle facce esterne,
quindi in corrispondenza di ogni centro ci deve essere una punta (ossia un vertice) che fa da conca per la pallina,

come si vede nel disegno di Daniele,

ciao,

guzman.

E' proprio un caso di dualità,

se il dado fuori è un cubo,
il dado interno deve essere un ottaedro ... ecc.

Invertendo il dentro col fuori bisogna usare il duale ...

ciao,
guzman.

Gama ha detto...

Io ho il dado sferico,l'ottaedro, il doecaedro, quello normale, quello a venti facce, a trenta e a dieci!
Che dadi mi mancano?

Guzman ha detto...

Dunque hai:
sferico 6,
6,8,10,12,20,30.

Hai anche 3 o 4 punti (non ricordo più).

Ti manca 4 e 24 (che arriva tra un po').

A volte capitano anche delle varianti che poi ti faccio vedere.

ciao,
guzman.

Ila ha detto...

yin e yang sono maschio e femmina vero?
guz, vedendo un film, hanno dtt ke P greco è = 3,1419562! pè giusto?? XD

Guzman ha detto...

Ciao Ilaria,

dunque ...
Yin e Yang rappresentano tante cose duali ...
giorno notte
maschio femminna
buio luce
caldo freddo

trovi una lista qua

Per quanto riguarda Pi greco:
pi greco ha infinite cifre decimali non periodiche ...

Inizia così:
3.14159265358979323846264338327950288…

ciao,
guzman.

Gama ha detto...

Ma domani staremo con lei durante quell'ora extra?

Guzman ha detto...

No, domani no.

ciao,
guzman.

Gama ha detto...

Ok!

Ila ha detto...

mmmm...se hai visto una notte al museo due sono i piccoli Einstein che lo dicono!! Ah, il mio schermo s'è fritto, cosi ne ho preso un altro, sai per caso come faccio a migliorare la risoluzione delle immagini? xke (solo su Internet) vengono sfocate, anche il simbolo di sto blog è sfocato! ???

Guzman ha detto...

x Ilaria:
riguardo allo schermo,

non so bene da cosa dipenda,
hai due possibilità:
clicchi con il tasto destro sul desktop e scegli personalizza e poi impostazioni schermo.
Oppure apri il browser tieni premuto il tasto ctrl e gira la ruzzola del mouse, questo dovrebbe cambiare lo zoom del browser ...

non so se ti ho aiutato.
ciao,
guzman.

Gama ha detto...

Bello il disegno del dado! Mi piace!
Chi l'ha fatto?

Guzman ha detto...

C'è scritto Dario,

l'ho fatto io adesso,
c'è anche il link ...

credo che più tardi farò
un altro post,
ed ho un'idea che devo dirvi domani ...

ciao,
guzman.

Gama ha detto...

Sono curioso del prossimo post

Amelia Earhart ha detto...

ehy guz! sai ke amelia earhart? vai a vedere è fikissimo! l'ho preso da wikypedia, un pò l'ho scritto io!!
ah, il dado tondo ce l'ho anke io! rosa!

Sofy ha detto...

Ecco,il mio post! =)

Guzman ha detto...

Mi sembra di capire che ti è piaciuta la parte sul dualismo e sullo Yin e Yang, giusto ?

ciao sofia,

guzman.

Sofi ha detto...

Esatto! ;)

Guzman ha detto...

Fa piacere Sofy,
:)

ciao,
ne scriverò altri del genere,
sono contento che ti piacciano,

ciao,
guzman.