Dualità

Questo ed i prossimi post avranno una parte di pensieri ed una parte matematica delimitata da linee orizzontali.

Dualità (pensieri ...)
Nel parlare comune quando uno parla di dualismo e dualità si riferisce alla concezione secondo la quale in ogni cosa c'è la presenza di due essenze o principi opposti ed inconciliabili.
Per dirla semplice con un esempio, secondo questa visione filosofica della realtà, che io non condivido: in ogni azione di ogni persona c'è un po' di bene ed un po' di male.
In ogni cosa ci sarebbe un po' di luce ed un po' di buio, un po' di bene ed un po' di male, un po' di giusto ed un po' di ingiusto, ecc.
Tutto sarebbe fatto da un po' dell'uno ed un po' dell'altro.
Io preferisco pensare che quello che una persona è, è quello che è ...
e non si compone di un po' di bene ed un po' di male, semplicemente è la sua identità.

Non so, voi che ne dite?

In figura il classico simbolo Yin e Yang della religione taoista cinese
secondo la quale tutte le cose in natura hanno un po' di bene ed un po' di male.

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Parte Matematica
In matematica la dualità è il seguente principio:

Dato un oggetto matematico, se costruisco l'oggetto opposto (secondo certe regole) ottengo un oggetto che avrà proprietà opposte.

Ossia: creando l'oggetto opposto si ottiene un oggetto che ha le proprietà opposte.

Un esempio di dualità è la dualità tra i poliedri con facce regolari.
Il duale di un poliedro con facce regolari si ottiene unendo fra loro i centri delle sue facce.

Abbiamo visto che in questa dualità:
il cubo corrisponde all'ottaedro (e viceversa),
l'icosaedro corrisponde al dodecaedro (e viceversa),
il tetraedro corrisponde a se stesso.

Consideriamo un poliedro A ed il suo duale B.
In che senso il poliedro duale B ha proprietà opposte rispetto ad A?

Nel senso che il numero di facce di A diventa il numero di vertici di B
ed il numero di vertici di A diventa il numero di facce di B.
Il numero degli spigoli resta invece lo stesso.
Quindi in questa dualità:
vertici corrispondono a facce,
facce corrispondono a vertici,
e spigoli corrispondo a spigoli.

Per esempio:
Cubo: Vertici 8, Spigoli 12, Facce 6
Ottaedro: Vertici 6, Spigoli 12, Facce 8.

Il duale di un poliedro si può costruire per tutti i poliedri le cui facce sono poliedri regolari.
Ne riparlerò i prossimi giorni quando parleremo di troncature ...

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In Figura un bel modello di Daniele che mostra la dualità tra cubo e ottaedro:
unendo i centri delle facce del cubo si ottiene l'ottaedro
ed unendo i centri delle facce dell'ottaedro si ottiene il cubo.
Ottimo lavoro Daniele.

Notate che nella figura dello Yin e Yang (in alto)
se scambiate il bianco con il nero ottenete la stessa figura ... (solo ruotata).

Ciao,
guzman.

Il Quesito (un po' difficile ... ma forse no).
Più di uno di voi ha vinto il dado sferico con 6 numeri.
Per fare in modo che il dado non rotoli troppo,
all'interno c'è una piccola pallina che fà da pesino.
Ma non solo, la cavità interna ha una forma che permette alla pallina interna di fermarsi solo nelle 6 posizioni corrispondenti ai 6 numeri scritti sulla sfera.
In questo modo siamo sempre sicuri che quando il dado si ferma indica sempre un numero preciso e non si ferma a metà tra due numeri.
Ora la domanda è:
Qual'è la forma della cavità interna del dado sferico con 6 numeri ?

Aggiornamento: Dario ha risolto il quesito. La cavità interna deve essere un ottaedro con i vertici in corrispondenza dei numeri esterni in modo da creare delle piccole conche interne dove la pallina che fa da pesino si può fermare.
[Ho aggiunto anche il disegno del dado sferico che mi sono divertito a fare con Sketchup]

ciao,
di nuovo,
guzman.