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Scuola: Cabri - Disegni - Sketchup

martedì 19 gennaio 2010

Tetraedro


Immaginate di avere tante arance ..

e di volerle disporre in modo da occupare il minor spazio possibile, ossia, in modo da occupare il minor volume possibile.

Istintivamente uno crea un primo strato di arance e poi un secondo strato di arance andando a mettere le arance del secondo strato nelle cavità lasciate dal primo strato. E così via ...

Un problema aperto fin dal 1500 era quello di sapere se questa disposizione fosse effettivamente il modo migliore di impilare le arance (o le palle dei cannoni) per occupare meno spazio possibile.
Pensateci, per chi trasporta arance o altri oggetti sferici, risparmiare spazio può essere importante.

Nel 1998 un matematico ha presentato una dimostrazione che prova che questo è il modo migliore. Tuttavia la dimostrazione è estremamente lunga e complessa (250 pagine) e fa largo uso del computer per creare una lunghissima lista di casi e di calcoli (3 GigaByte di dati).
La dimostrazione è ritenuta corretta ma nessuno è mai riuscito ad avere la certezza che non vi siano errori nei calcoli effettuati dal computer ...
Una dimostrazione che non faccia uso di casistiche generate dal computer è ancora attesa.

La disposizione delle arance è strettamente parente del tetraedro (come si vede nelle figure).





Uno al giorno stiamo vedendo tutti i solidi regolari.

Il tetraedro regolare è una piramide a base triangolare le cui facce sono tutti triangoli equilateri.

Il tetraedro mi fa venire in mente 2 cose:

Il TetraPak (qua accanto) è un contenitore per liquidi a forma di tetraedro che viene prodotto con un metodo facile ed interessante che vi mostrerò a scuola. (L'azienda che produce il contenitore si chiama anch'essa TetraPak ed produce ormai contenitori di varie forme).

Molte molecole hanno forma tetraedrica.
La molecola del gas metano, per esempio, è un tetraedro.
E' formato da un atomo di carbonio al centro del tetraedro ed ha intorno 4 atomi di idrogeno disposti sui vertici di un tetraedro.

Ah, come sempre, il tetraedro regolare è un solido regolare e ci si fa un bel dado a 4 facce (qua sotto nella versione con le punte stondate per rotolare meglio):


Quesiti Aperti
:

1 - [Difficile] Sapreste dire quanti vertici, spigoli, facce, solidi 3D ha un cubo in 4 dimensioni (vedete la figura nel post precedente).

2 - Quanti sono gli sviluppi piani del cubo? Qui accanto ne vedete uno.

3 - Quanti sono gli sviluppi piani del tetraedro regolare?

4 - Dovete ancora trovare un buon modo per fare un dado con 3 numeri, con 5 numeri e con 10 numeri.




Ciao,

Il post di oggi era un po' tecnico, chiedo scusa, ma non volevo lasciare fuori il tetraedro dalla rassegna.

Guzman

37 commenti:

Anonimo ha detto...

Per ora ho trovato 7 sviluppi del cubo.
dario

Guzman ha detto...

ce ne sono di più ...

ciao,
guzman.

Edo ha detto...

Lo avevi fatto fare anche a noi se non sbaglio...

Guzman ha detto...

Avevamo fatto il tetraedro con la carta ... è vero.

ciao,
guzman.

Ila ha detto...

penso 9! io nn me lo ricordo di averli fatti! Oh ma la gente oggi non va a scuola??

Guzman ha detto...

Si, hai ragione ilaria,

io ne avevo fatto uno davanti a voi con la spillatrice,
ma voi non li avevate fatti ...

ciao,
guzman.

9 sviluppi del cubo?
non esatto.

Ila ha detto...

ah, cmq, se i vertici sn gli angolini dv si incontrano le linee quelli del cubo 4 dimensioni sn 16, mentre le linee dei lati sn..asp le conto =)

Ila ha detto...

30 facce e 20 spigoli credo

Guzman ha detto...

Quindi tu dici:
per il cubo in 4 dimensioni:

16 Vertici (no, riconta)
20 spigoli (no, riconta)
30 facce (no, riconta)
[?? facce solide]

Il tuo tentativo non è per nulla male, ma hai fatto degli errori a contare.

Inoltre un cubo in 4 dimensioni ha anche delle facce tridimensionali ... oltre alle facce normali ... ma questo aspetto in effetti è difficile.

Se conti bene ... penso che puoi dare la risposta giusta ...

Guzman ha detto...

x 3D:

ho caricato i vostri icosaedri,
più tardi ci farò un post ...

ciao,
guzman.

Ila ha detto...

ekko nn ne è giusto UNO! ok riconto

Ila ha detto...

24 facce contate ora fo il resto

Guzman ha detto...

24 Facce Giusto!!!

Ila ha detto...

32 linee (rette) ora invece conto gli angolini punti di incontro

Ila ha detto...

gli angolini di incontro continuano a tornarmi 16

Guzman ha detto...

Se guardi bene,
sono due cubi uno dentro l'altro
collegati fra di loro,
quindi i vertici sono 16:
8 del primo cubo
8 del secondo cubo.

ciao,
guzman.

Guzman ha detto...

32 spigoli è giusto !!!

bravissima,

ciao,
guzman.

Guzman ha detto...

Scusa !!!

AVEVI detto 16
è gisuto !!!!

hai vinto!!!!

Guzman ha detto...

Scusa !!!

AVEVI detto 16 vertici
è gisuto !!!!

hai vinto!!!!

Guzman ha detto...

Bravissima !!

ciao,
guzman.

Guzman ha detto...

Hai vinto,

ma ad essere precisi
mancherebbe una cosa,

un cubo 3d ha intorno a se tanti quadrati 2d,

allo stesso modo un cubo 4D ha intorno a se tanti cubi 3d,

la domanda è:
quanti cubi 3d ha intorno a se un cubo 4d?


per premio faro un disegno complesso con sketchup dedicato a te ...

ciao,
guzman.

Ila VINCITRICE TRIONFANTE ha detto...

nn so che è un quadrato 2d!

Guzman ha detto...

Farò un post per spiegare per bene ...

comunque un normale cubo (che è un oggetto in 3D) ha intorno dei normali quadrati (che sono oggetti in 2D).

allo stesso modo un cubo in quattro dimensioni ha intorno dei cubetti in 3D, quanti ?

(non ha intorno solo vertici, spigoli e facce, ma anche cubetti 3D)


ciao,
guzman.

Guzman ha detto...

Ho visto il disegno che mi hai mandato ...

Giustissimo,

non vedo l'ora di fare un post col tuo disegno ...

ovviamente devi pensare che il cubo 4D vive in 4 dimensioni
quindi quello che uno disegna è solo una proiezione,
come qando uno disegna un cubo 3D su un foglio piatto
e si cerca di far capire come è fatto ...

bravissima.

ciao.

Ila ha detto...

intorno o dentro??? e poi dipende da quanto sn grossi cm fa uno a sapere??

Guzman ha detto...

Intorno,

solo che è difficile capire cosa è intorno e cosa è dentro ...


c'è un metodo per capire solo che è difficile ...
quindi per ora lasciamo così ...

ciao,
guzman.

Ila ha detto...

allora, se prendo la mia misura di cubo che ho ftt, 160 cm, ci stanno 66 cubetti sulle facce esteriori ognuno da 20 cm, e considerando che le facce sn quattro i cubetti sarwanno 66 X 4 cioè 264. Se poi prendiamo il cubo dentro che nel mio misura 96,00 x faccia sn 144 cubetti ciscuno da 8 cm. all? ho ftt un pò un mio ragionamento ma insomma XD

Ila ha detto...

perciò x tutto il cubetto sono 144 X 4= 576 cuvbetti da 8 cm

Guzman ha detto...

No, aspetta ...

pensa ai lati di un quadrato ...
sono quattro e gli fanno da bordo ...

allo stesso modo ci sono dei cubi 3D che fanno da bordo al cubo 4D ...
tutto giro giro, sono già li nella figura ... ma è molto difficile capire che sono cubi perché sono deformati dalla proiezione ...

Sono 8:
quello fuori,
quello dentro,
e i sei cubi che collegano il cubo fuori con il cubo dentro,

anche se sono deformati nella figura ruotante si vede che in certi momenti sono tutti cubi ...

ciao,
guzman.

Ila ha detto...

aaaaaaaah xò guarda i miei disegni, nn sn geniali? XD

Guzman ha detto...

Si li ho visti,

molto ben fatti,

sei diventata davvero brava,
è curioso pensare che odiavi la matematica (e forse la odi ancora)
pero ti diverti a contare quanti sono gli spigoli del cubo 4D e ci riesci pure ...

:)

ganzo,

ciao,
guzman.

Ila ha detto...

la odio quando non la capisco, e a volte anche se non la capisco mi diverto a farla, mi annoiano i monome, che ora STIAMO FACENDO! XD ufff! W MATEMATICA (solo quella spiegata da guz, che forse è l'unica che si capisce!) =)ehy, puoi farlo come quesito qll che ho ftt io! contate e bla bla bla sulle facce costruendo un cubo da 160 cm con uno denrto da 96 cm! no?

Guzman ha detto...

:D

Grande,

si posso usarlo bene come problema a scuola.

I monomi e polinomi sono fondamentali, però bisogna affrontarli nel modo giusto.
La matematica con le lettere è tutto.
Quest'anno facciamo solo matematica con le lettere a scuola ed è tutto più facile e si divertono di più.

Ma, ripeto, va presa nel modo giusto.

ciao,
devo uscire ...

alla prossima ...

guz.

Ila ha detto...

ciauuuuuuuuuuuu=)

Edo ha detto...

Anke noi stiamo facedo i monomi
e i polinomi...
Sono difficili, il profe spiega male
da tutto per scontato.

Ila ha detto...

edo io nn ci capisco nulla cn la nostra, sikke! XD

Guzman ha detto...

x Edo:

il calcolo letterale è fondamentale,

ripeto:
quest'anno facciamo quasi solo calcolo letterale.
La matematica utile sta tutta nelle lettere.

Ma va presa nel modo giusto.

ciao,
guzman.